função do 2 grau?
se f(x)=2x^2-(5k+3)x+96, determine o valor de k, sabendo que uma raiz é o triplo da outra.
com detalhes muito obrigado!!
se f(x)=2x^2-(5k+3)x+96, determine o valor de k, sabendo que uma raiz é o triplo da outra.
com detalhes muito obrigado!!
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CONDIÇÕES:
2x²-(5k-3)x+96=0
x'=3x" (uma raiz é o triplo da outra)
Em uma equação quadrática ax²+bx+c=0 o produto das raízes é c/a
Assim:
x'.x" = 96/2 = 48
mas x'=3x"
3x"²=48
x"²=16
x"=±4
x'=±3x"=±3.4=±12
Logo temos DUAS soluções possíveis:
SOLUÇÃO (a) x'=12 e x"=4
SOLUÇÃO (b) x'=-12 e x"=-4
Soma das raízes = ±(4 + 12) = ±16
Em uma equação quadrática ax²+bx+c=0 a soma das raízes é -b/a
Assim:
-b/a=±16
(5k+3)/2=±16
5k+3=±32
SOLUÇÃO (a)
5k=29
k=29/5
SOLUÇÃO (b)
5k=-35
k=-7
HÁ DUAS RESPOSTAS:
SOLUÇÃO (a) k=29/5
SOLUÇÃO (b) k=-7
\o/
Conferindo...
SOLUÇÃO (a)
k=29/5
2x²-(29+3)x+96=0
2x²-32x+96=0
x²-16x+48=0
x'=12
12²-16.12+48=0
144-192+48=0 OK!
x'=4
4²-16.4+48=0
16-64+48=0 OK!
\o/
SOLUÇÃO (b)
k=-7
2x²-(-35+3)x+96=0
2x²+32x+96=0
x²+16x+48=0
x'=-12
(-12)²+16.(-12)+48=0
144-192+48=0 OK!
x'=-4
(-4)²+16.(-4)+48=0
16-64+48=0 OK!
\o/
Veja:
x'=a
x"=3a
a+3a=(5k+3)/2
4a=(5k+3)/2
a=(5k+3)/8
a.3a=96/2
3a²=48
a²=48/3
a²=16
a=â16
a=+-4
Para a=4,
a=(5k+3)/8
4=(5k+3)/8
8.4=(5k+3)
32=(5k+3)
5k=32-3
5k=29
k=29/5
Para a=-4,
a=(5k+3)/8
-4=(5k+3)/8
8.(-4)=(5k+3)
-32=(5k+3)
5k=-32-3
5k=-35
k=-35/5
k=-7.
Pelas relações de Girard, para um polinômio da forma P(x) = ax^2 + bx + c pode ser escrito o seguinte:
x1 + x2 = -b/a
x1 * x2 = c/a
Onde x1 e x2 são raÃzes do polinômio.
O nosso polinômio tem a = 2, b = -(5k+3) e c=96. Além disso x2 = 3x1, portanto:
4x1 = (5k+3)/2
e
3(x1)^2 = 96/2
Tiramos que x1 = +4 ou - 4 o que implica em x2 = +12 ou -12.
substituindo x1 = 4 temos:
4*4 = (5k +3)/2 => k = 5,8
substituindo x1 = -4 temos:
-4*4 = (5k +3)/2 => k = -7
Não foi dada nenhuma restrição para o valor de k, mas pela cara do problema parece mais sensato que ele seja inteiro, se for este o caso então k = -7.
E de quebra as raÃzes são x1 = -4 e x2 = -12.
Espero ter ajudado.
Abç
Seja:
f(x)=2x²-(5k+3)x+96
Também pode ser escrita como:
f(x)=2(x-a)(x-3a)
Visto que uma raÃz é o triplo da outra. Expandindo:
f(x)=2x²-8ax+6a²
Sendo idêntico, temos que 6a² = 96
a² = 16
a = ±4
Agora:
8a = 5k - 3
Portanto temos duas soluções:
Para a=+4 (outra raÃz 12)
8*4 = 5 k - 3
5 k = 32 + 3 = 35
k = 7
Para a=-4 (outra raÃz -12)
-4Ã8 = 5k - 3
5 k = - 32 + 3 = -29
k = - 29 / 5
Portanto: k=7 ou k=-29/5