¿Movimiento armónico Simple, Consulta rápida.?
Sobre un cuerpo de masa m, inicialmente en reposo en r0 = (x0, y0, z0), se ejercen alternativamente las siguientes fuerzas variables:
a) F = -k.(x)^2
b) F = -k.(x+c)
c) F = k.x
d) F = -k.(x)^3
e) F = - (k.x)^3
donde k y c son constantes positivas. Determinar cuáles de éstas fuerzas darán lugar a un movimiento periódico del cuerpo, y en queé caso/s el movimiento será armónico simple.
Si me dan una breve explicación se los agradezco saludos.
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Podemos calcular la energía potencial en cada caso, notando que nos fuerzas conservativas (son el gradiente de una función Φ). Calculemos el potencial U referido a x = 0, salvo para b):
a) U = k∫x²dx = 1/3 k x³
c) U = -k∫xdx = -1/2 k x²
d) U = k∫x³dx = 1/4 k x⁴
e) U = k³∫x³dx = 1/4 k³ x⁴
Notemos que la fuerza d) es la misma que e) para una constante k³ = k'.
Si graficamos las energías vemos que para d) y e) se tiene un pozo de potencial alrededor de x = 0. Esto quiere decir que si se da al cuerpo una energía inicial (puramente potencial, según las condiciones iniciales), entonces el cuerpo oscilará alrededor de x = 0.
Si graficamos para c), la energía potencial es una parábola negativa, lo cual dice que todo estado distinto a x = 0 tenderá a alejarse de éste (equilibrio inestable en x=0).
Si graficamos para a) tenemos una cúbica, que tiene un punto de equilibrio (inestable) en x=0, y cualquier energía inicial dada al cuerpo hará que se mueva a los x negativos.
Finalmente la fuerza b) es la de un oscilador armónico para x' = x+c: veamos:
m d²x/dt² = m d²/dt² (x'-c) = m d²x'/dt² = -k(x+c) = -kx'
Que es la ecuación de un oscilador armónico para x' = x+c.
Saludos!