Existe, ao menos, um modo trivial de se resolver o problema. Para isso, assumindo-se uma transformação linear F: V → V (que é um operador linear, já que o domínio e o contradomínio são os mesmos, ambos como o conjunto V) e um vetor u ∈ V, deve-se considerar os seguintes pontos em relação aos autovalores e autovetores:
{1} como uma idéia inicial, embora geralmente u e T(u) não têm a mesma direção, existem certos casos privilegiados nos quais T(u) = 𝛌·u, com 𝛌 ∈ ℝ, ou seja, u e T(u) têm a mesma direção e daí se nota que o efeito de T sobre u é apenas uma mudança de módulo e/ou de sentido;
{2} se V é um espaço vetorial sobre ℝ (ou ℂ) u ≠ 𝞸 (vetor nulo) e existe um escalar 𝛌 ∈ ℝ (ou ℂ) tal que T(u) = 𝛌·u, então u é vetor próprio ou autovetor e 𝛌 é um valor próprio ou autovalor;
{3} segundo as condições do item anterior, V(𝛌) = {u ∈ V / T(u) = 𝛌·u} é o sub-espaço próprio de 𝛌.
Daí, notando-se que y aparece 2 vezes (tanto na 1ª e 2ª posição) na tríplice de valores reais que é o resultado de T (x,y,z) = (x+y,y,z), então, pelo 1º ponto considerado, y vai influenciar (provocar alteração) na direção se y ≠ 0 e, pelo 2º ponto considerado, todo vetor do plano xz [isto é, vetor da forma (x,0,z)] é autovetor com autovalor 1, pois T(x,0,z) = 1·(x,0,z). Então, os vetores próprios são (x,0,z) e seu valor próprio é 1, ou seja, V(1) = plano xz é a única resposta que pode ser dada.
Sds
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Aproveito p/ sugerir q matemática e qq outra matéria é mais fácil de ser estudada se tivermos QI maior; um modo gratuito de garantir q nosso QI não diminua é mudar nosso estilo de vida p/ um mais feliz, saudável e saboroso ^_^ : http://youtube.com/watch?v=Xe_oNnBAtcs&cnl_tv=Supr... (informações da Mensa Internacional — a maior e mais antiga sociedade que reúne pessoas com alto QI do mundo — exibidas em um canal de TV global via satélite q traz entrevistas sobre vários temas importantes c/ renomados especialistas locais, regionais, nacionais ou até internacionais dos vários cantos do mundo), http://youtube.com/watch?v=U4lgWORL6Oc e http://youtube.com/watch?v=7x-UgndYFrA , lembrando q, por exemplo, mercúrio é um elemento encontrado em concentrações preocupantes em peixes e pode causar falhas de memória, dificuldade de prestar atenção, etc e até efeito desastroso no sistema nervoso. E, p/ quem gosta do planeta (beleza natural, etc) e das conquistas humanas (artes, conhecimento, etc), saiba ajudar a acabar com as crises mundiais: http://crisis2peace.org/pt (livro on-line) e http://suprememastertv.com/pt/worldvegan (oficial) ou http://youtube.com/watch?v=QeG-OXaQYvw (alternativo).
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Meu caro: [ A solução em formato mais completo e legível está em http://pt.scribd.com/doc/109765622 .]
Existe, ao menos, um modo trivial de se resolver o problema. Para isso, assumindo-se uma transformação linear F: V → V (que é um operador linear, já que o domínio e o contradomínio são os mesmos, ambos como o conjunto V) e um vetor u ∈ V, deve-se considerar os seguintes pontos em relação aos autovalores e autovetores:
{1} como uma idéia inicial, embora geralmente u e T(u) não têm a mesma direção, existem certos casos privilegiados nos quais T(u) = 𝛌·u, com 𝛌 ∈ ℝ, ou seja, u e T(u) têm a mesma direção e daí se nota que o efeito de T sobre u é apenas uma mudança de módulo e/ou de sentido;
{2} se V é um espaço vetorial sobre ℝ (ou ℂ) u ≠ 𝞸 (vetor nulo) e existe um escalar 𝛌 ∈ ℝ (ou ℂ) tal que T(u) = 𝛌·u, então u é vetor próprio ou autovetor e 𝛌 é um valor próprio ou autovalor;
{3} segundo as condições do item anterior, V(𝛌) = {u ∈ V / T(u) = 𝛌·u} é o sub-espaço próprio de 𝛌.
Daí, notando-se que y aparece 2 vezes (tanto na 1ª e 2ª posição) na tríplice de valores reais que é o resultado de T (x,y,z) = (x+y,y,z), então, pelo 1º ponto considerado, y vai influenciar (provocar alteração) na direção se y ≠ 0 e, pelo 2º ponto considerado, todo vetor do plano xz [isto é, vetor da forma (x,0,z)] é autovetor com autovalor 1, pois T(x,0,z) = 1·(x,0,z). Então, os vetores próprios são (x,0,z) e seu valor próprio é 1, ou seja, V(1) = plano xz é a única resposta que pode ser dada.
Sds
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Aproveito p/ sugerir q matemática e qq outra matéria é mais fácil de ser estudada se tivermos QI maior; um modo gratuito de garantir q nosso QI não diminua é mudar nosso estilo de vida p/ um mais feliz, saudável e saboroso ^_^ : http://youtube.com/watch?v=Xe_oNnBAtcs&cnl_tv=Supr... (informações da Mensa Internacional — a maior e mais antiga sociedade que reúne pessoas com alto QI do mundo — exibidas em um canal de TV global via satélite q traz entrevistas sobre vários temas importantes c/ renomados especialistas locais, regionais, nacionais ou até internacionais dos vários cantos do mundo), http://youtube.com/watch?v=U4lgWORL6Oc e http://youtube.com/watch?v=7x-UgndYFrA , lembrando q, por exemplo, mercúrio é um elemento encontrado em concentrações preocupantes em peixes e pode causar falhas de memória, dificuldade de prestar atenção, etc e até efeito desastroso no sistema nervoso. E, p/ quem gosta do planeta (beleza natural, etc) e das conquistas humanas (artes, conhecimento, etc), saiba ajudar a acabar com as crises mundiais: http://crisis2peace.org/pt (livro on-line) e http://suprememastertv.com/pt/worldvegan (oficial) ou http://youtube.com/watch?v=QeG-OXaQYvw (alternativo).
Fim!
algebra é uma coisa de louco!