A fatoração é fácil se você encontrar as raízes da equação.
Se ela não possuir raízes reais (∆<0), então não é fatorável.
Por exemplo, vamos fatorar a equação x² - 5x + 6.
x² - 5x + 6 = 0
∆ = 5² - 4 . 1 . 6 = 25 -24 = 1
x' = ( 5 - 1 ) / 2 = 4 / 2 = 2
x'' = ( 5 + 1 ) / 2 = 6 / 2 = 3
como você pode perceber, as raízes da equação são x' = 2 e x'' = 3.
Logo, a equação original pode ser reescrita como:
(x - 2).(x - 3) = x² - 5x + 6
Na realidade, equações do 2° grau da forma ax² + bx + c com raízes inteiras, onde a = 1, b < 0, ficam na forma x² - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes, e P é o produto das raízes.
Por exemplo, seja "m" e "n" as raízes inteiras de uma equação do 2° grau:
(x - m).(x - n) =
= x² - mx - nx + m.n
= x² - (m + n)x + m.n
Note que o termo (m + n) é a soma das raízes, e m.n é o produto das raízes.
Se as raízes forem racionais, você procede de forma semelhante.
Por exemplo, sejam as duas raízes de uma equação do 2° grau: x' = b/a e x'' = d/c.
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A fatoração é fácil se você encontrar as raízes da equação.
Se ela não possuir raízes reais (∆<0), então não é fatorável.
Por exemplo, vamos fatorar a equação x² - 5x + 6.
x² - 5x + 6 = 0
∆ = 5² - 4 . 1 . 6 = 25 -24 = 1
x' = ( 5 - 1 ) / 2 = 4 / 2 = 2
x'' = ( 5 + 1 ) / 2 = 6 / 2 = 3
como você pode perceber, as raízes da equação são x' = 2 e x'' = 3.
Logo, a equação original pode ser reescrita como:
(x - 2).(x - 3) = x² - 5x + 6
Na realidade, equações do 2° grau da forma ax² + bx + c com raízes inteiras, onde a = 1, b < 0, ficam na forma x² - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes, e P é o produto das raízes.
Por exemplo, seja "m" e "n" as raízes inteiras de uma equação do 2° grau:
(x - m).(x - n) =
= x² - mx - nx + m.n
= x² - (m + n)x + m.n
Note que o termo (m + n) é a soma das raízes, e m.n é o produto das raízes.
Se as raízes forem racionais, você procede de forma semelhante.
Por exemplo, sejam as duas raízes de uma equação do 2° grau: x' = b/a e x'' = d/c.
x = b/a
ax = b
ax - b = 0
x = d/c
cx = d
cx - d = 0
Portanto, a equação do 2° grau fica:
(ax - b).(cx - d) = a.c.x² - a.d.x - b.c.x + b.d = (a.c)x² - (bc + ad) + bd
Exemplo numérico, fatore a seguinte equação:
21x² - 29x + 10
A resposta é (3x - 2).(7x - 5)
A dica é resolver a equação do 2° grau, e encontrar as raízes x' = 2/3 , e x'' = 5/7.