PRINCIPIO DA INDUÇÃO FINITA?
alguem sabe me explicar principio da indução finita???
comecei fazer faculdade de matematica, mas n estou entendendo essa materia..por favor galera me ajudem....!!!!!!!!não recordo de ter estudado isso alguma vez na vida...
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Este princípio é o seguinte:
Suponha que determinado fato acontece para um número específico.
Se você conseguir provar que:
- independementemente de qual seja este número específico, a mesma propriedade vale para o número seguinte a este e
- existe este número específico
Você concluiu que vale para qualquer número.
Exemplo: Será que a soma dos naturais de 1 até a n, Sn, é n(n+1)/2?
Suponha que exista n para qual valha Sn = n(n+1)/2
Vamos ver se para o número seguinte, n+1, também vale isto, ou seja se esta soma fica (n+1)(n+2)/2.
para n+1, temos a soma até n mais n+1.
Sn+1 = Sn +n+1
Sn+1 = n(n+1)/2 +n+1
Sn+1 = [n(n+1) + 2(n+1)]/2
Sn+1 = (n+2)(n+1)/2
Legal, concluimos se esta propiriedade vale para um número, vale para o seu sucessor também.
Mas vale para algum número? (escolha um n qualquer, 1 ou 2 são muito comuns, neste caso para n=1 e n=2 é muito óbvio que a expressão vale)
Para contrariar escolhi n=3, para exemplo,
a soma calculada na "raça" é 1+2+3=6
a soma calculada pela expressão (3).(3+1)/2 = 6. Valeu!!!
Então se vale para 3, sei que vale para o sucessor 4. Se vale para 4, também vale para 5, e para 6, e para qualquer outro número acima.
Logo, posso concluir que a soma dos primeiros n números naturais é calculada por n(n+1)/2 para qualquer n.
P.S: Desculpe-me pelo exemplo ser igual ao da resposta anterior, quando comecei a escrever a resposta dele não estava aí.
O PIF é um método de demonstração de proposições válidas dentro do conjunto dos inteiros. Por exemplo: você quer demonstrar que uma proposição P vale para todos os números inteiros maiores que 1:
Primeiramente você verifica que ela vale para o 2, que é o menor elemento do conjunto dado.
Depois você prova que, se ela valer para um certo n então ela valerá para n+1.
Isso faz com que ela valha para todos os números maiores que 1.
Veja um exemplo de aplicação: você quer demonstrar que 1 + 2 + 3 + ... + k = k.(k+1)/2
começamos por k = 1 : 1 = 1.(1+1)/2 ==> 1 = 1 (verdadeiro)
A proposição vale para k=1.
Vamos admitir que ela vale para k = n . Então:
1 + 2 + 3 + ... + n = n.(n+1)/2 Tenha isto como verdadeiro.
Vamos mostrar que ela valerá para k = n+1 :
1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = n.(n+1)/2 + (n+1) =
\------------^------------/
n.(n+1)/2
= [n.(n+1) + 2.(n+1)]/2=
= [(n+1).(n+2)]/2 =
= [(n+1).(n+1+1)]/2 =
=k.(k+1)/2 (verdadeiro)