problemas sobre conjuntos?
Un profesor de matemàticas de noveno grado realizò tres exàmenes parciales durante un bimestre. Al final comunicò que 2 alumnos habian reprobado los tres examenes parciales, 6 alumnos habian reprobado el 1ero y el 3 examen, 9 habian reprobado el 2 y el 3; 5 alumnos habian reprobado el segundo y el primero; 12 alumnos reprobaron el el primer examen; 15 reprobaron el 2 examen y 16 el 3 examen. Sabiendo que el grupo tenia 50 alumnos, determinar: el Nùmero de estudiantes que:
a) Reprobaron solo el primer examen ,
b) reprobaron el 2 y el 1er examen pero no el 3,
c) Reprobaron el 1ero o el 2 pero no el 3,
d) Reprobaron solamente un examen
e) Aprobaron los 3 examenes .
Comments
Dibuja el diagrama de Venn para los siguientes conjuntos:
A={alumnos que reprobaron el primer examen}
B={alumnos que reprobaron el segundo examen}
C={alumnos que reprobaron el tercer examen}
Con los datos del problema:
A∩B∩C = 2
A∩C = 6
B∩C = 9
B∩A = 5
A = 12
B = 15
C = 16
A está conformado por varias partes o áreas del diagrama, así: El área de los que sólo reprobaron el primer examen (llamémosla A', que es lo que nos preguntan en el literal a)) + el área de los que reprobaron el primero y el segundo + el área de los que sólo reprobaron el primero y el tercero (pero no el segundo), lo cual suma 12 y se expresa de la siguiente manera:
A = A' + (A∩B) + [ (A∩C) - (A∩B∩C) ]
12 = A' + 5 + (6 - 2)
12 = A' + 5 + 4
12 = A' + 9
A' = 12 - 9
A' = 3
Rta.: 3 alumnos reprobaron solamente el primer examen.
b) Reprobaron el segundo y primero pero no el tercero = A∩B - A∩B∩C = 5 - 2 = 3
c) "El primero o el segundo" es AUB, pero al decir "pero no el tercero" a lo anterior se le debe quitar todo lo que incluya a C o a una parte de él, transformándose en:
(Llamemos x a lo que nos preguntan)
x = [ (AUB) ] - (B∩C) - [ (A∩C) - (A∩B∩C) ]
x = [ (A + B - (A∩B) ] - (B∩C) - [ (A∩C) - (A∩B∩C) ]
x = [ (12 + 15 - 5) ] - 9 - [ (6 - 2) ]
x = 22 - 9 - 4
x = 9
d) x = A' + B' + C'
En a) habíamos encontrado A', entonces hallemos B' y C' de manera semejante:
B = B' + (A∩B) + [ (B∩C) - (A∩B∩C) ]
15 = B' + 5 + (9 - 2)
15 = B' + 5 + 7
15 = B' + 12
B' = 15 - 12
B' = 3 --> Estos son los que solamente reprobaron el segundo examen
C = C' + (A∩C) + [ (B∩C) - (A∩B∩C) ]
16 = C' + 6 + (9 - 2)
16 = C' + 6 + 7
16 = C' + 13
C' = 16 - 13
C' = 3 --> Estos son los que reprobaron solamente el tercer examen.
Entonces, como dijimos antes,
x = A' + B' + C'
x = 3 + 3 + 3
x = 9
Rta.: 9 alumnos reprobaron solamente un examen.
e) "Aprobaron los tres examenes" es lo mismo que decir "no reprobaron ninguno", o sea:
x = (AUBUC)‾ --> esto es, el complemento de (AUBUC).
x = 50 - (AUBUC)
x = 50 - [ A + B + C - (A∩B) - (B∩C) - (A∩C) + (A∩B∩C) ]
x = 50 - (12 + 15 + 16 - 5 - 9 - 6 + 2)
x = 50 - (45 - 20)
x = 50 - 25
x = 25
Rta.: 25 alumnos aprobaron los 3 examenes, y otros 25 reprobaron al menos uno de los 3.
a) 3 alumnos
b) 3 alumnos
c) 9 alumnos
d) 9 alumnos
e) 25 alumnos
espero que te sirva!
Dibuja tres circulos que tengan intersecciones (tipo los anillos olimpicos) y comienza a poner los numeros que ya sabes en las interseccion lo que correspondan, así se hacen.
Se llama digrama de Veen.
gfffffffffffffffffffffffffff
f
f
f
ff
d
f