= -8(e²+1) / e^6 < 0 , logo f tem um máximo local , cujo valor é
f(√(e²+1)) = 2²/e² = (2/e)²
Analogamente f''(-√(e²+1)) = -8(e²+1) / e^6 < 0 . e o máximo terá o mesmo valor (2/e)²
c) Para esboçares o gráfico,toma atenção aos seguintes aspectos fundamentais :
1) existem duas rectas verticais que são assimptotas do gráfico ,
x=1 e x=-1 , nas quais a função tende para +∞ (como podes verificar calculando lim f(x) quando x→1+ , e quando x→(-1)‾
2) a função é par , f(-x)=f(x) , ou seja,o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos y (o eixo dos y funciona como um espelho,o que faz para x positivo e para x negativo é igual)
3) Marca os pontos de máximo e mínimo que encontrámos
4) A função tende para 0 quando x tende para + ou - ∞ , ou seja, o eixo dos x (y=0) é uma assimptota horizontal
5) Os únicos zeros da função são os que vimos,√2 e -√2, o gráfico não toca mais no eixo dos x.
Para terminar,a função tem seguramente pontos de inflexão (onde a 2ª derivada se anula) , e que lhe mudam a concavidade.
O trabalho de achar os zeros de f'' fica por tua conta,se te aventurares.
Marque os pontos de máximo e mÃnimo encontrados. Estes serão referências para a forma da função. Você sabe que ali ela faz uma curva importante.
Calcule limites interessantes, tal como lim f(x) com x tendendo a 1 ou com x tendendo a infinito.
Comments
O tipo de exercício que promete contas,e mais contas...e ainda mais contas.
Mas vamos lá,com muita calma.
A) há dois aspectos a ver para o domínio.
1-Numa fracção o denominador não pode ser 0 , logo x²-1 ≠ 0
2-Só existe logaritmo de números positivos , logo x²-1 > 0
Basta resolver x²-1 > 0 , que já engloba o 1º
x² > 1
x > 1 ou x < -1
Df = ] -∞ , -1 [ U ] 1 , +∞ [ (intervalos abertos)
Pela derivada da divisão , (u.v)' = ( u'v-uv' )/v² ,
e recordando que (ln u)' = u' / u , logo [(ln u)²]' = 2 (ln u) (u'/u)
f ' (x) = ( [ln(x²-1)]² )' (x²-1) -[ln(x²-1)]² (x²-1)' / (x²-1)²
= 2 ln(x²-1) [(2x)/(x²-1)] (x²-1) - [ln(x²-1)]²(2x) / (x²-1)²
= 2x ln(x²-1) [2-ln(x²-1)] / (x²-1)²
Os zeros da derivada serão :
2x = 0 ou ln(x²-1) = 0 ou ln(x²-1) = 2
x = 0 ou x²-1 = 1 ou x²-1 = e²
x = 0 ou x = √2 ou x = -√2 ou x = √(e²+1) ou x = -√(e²+1)
x=0 exclui-se porque não pertence ao domínio
Agora para decidir quais são máximos e quais são mínimos,fazemos o teste da 2ª derivada ( f'' > 0 é mínimo , f'' < 0 é máximo)
Mais uma vez temos derivada da divisão,e no numerador temos o produto de 3 funções de x , (u.v.w)' = u'vw+uv'w+uvw'
f '' (x) = [ 2 ln(x²-1)[2-ln(x²-1)] + 2x .2x/(x²-1).[2-ln(x²-1)] + 2x ln(x²-1) (-2x/(x²-1)) ] (x²-1)² - 2x ln(x²-1) [2-ln(x²-1)] . 2 (x²-1)(2x) / (x²-1)⁴ =
= [ 4 ln(x²-1) -2[ln(x²-1)]² +8x²/(x²-1) -8x²/(x²-1) ln(x²-1) ] (x²-1) -8x²ln(x²-1) [2-ln(x²-1)] / (x²-1)³
Poder-se-ia simplificar mais a 2ª derivada,mas para os efeitos práticos de substituir agora pelos valores críticos √2 , -√2 ,√(e²+1) ,-√(e²+1)
basta como está
f '' (√2) = (todos os ln(x²-1) vão dar 0)
= [ 4.0-2.0+ 8.2/1 -8.2/1.0] 1 -8.2.0(2-0) / 1
= 16 > 0 ,logo f tem em x=√2 um mínimo local, cujo valor é
f (√2) = (ln 1)² / 1 = 0
f '' (-√2) = 16 também, logo f tem em x=-√2 um mínimo local ,com o mesmo valor do anterior , 0
f '' (√(e²+1)) = (desta vez todos os ln(x²-1) vão dar 2)
= [4.2-2.2² +8(e²+1)/e² -8(e²+1)/e² .2 ] e² -8(e²+1).2.(2-2) / (e²)³
= -8(e²+1) / e^6 < 0 , logo f tem um máximo local , cujo valor é
f(√(e²+1)) = 2²/e² = (2/e)²
Analogamente f''(-√(e²+1)) = -8(e²+1) / e^6 < 0 . e o máximo terá o mesmo valor (2/e)²
c) Para esboçares o gráfico,toma atenção aos seguintes aspectos fundamentais :
1) existem duas rectas verticais que são assimptotas do gráfico ,
x=1 e x=-1 , nas quais a função tende para +∞ (como podes verificar calculando lim f(x) quando x→1+ , e quando x→(-1)‾
2) a função é par , f(-x)=f(x) , ou seja,o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos y (o eixo dos y funciona como um espelho,o que faz para x positivo e para x negativo é igual)
3) Marca os pontos de máximo e mínimo que encontrámos
4) A função tende para 0 quando x tende para + ou - ∞ , ou seja, o eixo dos x (y=0) é uma assimptota horizontal
5) Os únicos zeros da função são os que vimos,√2 e -√2, o gráfico não toca mais no eixo dos x.
Para terminar,a função tem seguramente pontos de inflexão (onde a 2ª derivada se anula) , e que lhe mudam a concavidade.
O trabalho de achar os zeros de f'' fica por tua conta,se te aventurares.
a) DomÃnio é o conjunto de valores de x para os quais f pode ser definida.
A princÃpio qualquer x real seria o domÃnio, mas com duas restrições:
- a função ln só existe para argumento positivo (restrição x²-1>0) e
- não podemos dividir por zero
Exclua estes valores "proibidos" de R e vc encontrará o domÃnio.
b) Os pontos de mÃnimo e máximo são encontrados derivado a função e igualando a zero.
Derive novamente a função e verifique o sinal.
Quando a derivada for zero e a segunda derivada for positiva, temos um ponto de mÃnimo.
Quando a derivada for zero e a segunda derivada for negativa, temos um ponto de máximo.
Quando a derivada for zero e a segunda derivada também for zero, temos um ponto de inflexão (não é mÃnimo nem máximo).
c) Esboço de f
Marque os pontos de máximo e mÃnimo encontrados. Estes serão referências para a forma da função. Você sabe que ali ela faz uma curva importante.
Calcule limites interessantes, tal como lim f(x) com x tendendo a 1 ou com x tendendo a infinito.
Como a função é contÃnua no domÃnio, estique o esboço a partir dos máximos e mÃnimos marcados e faça o comportamento bater com os limites calculados.