PROBLEMA QUARTA LICEO?
Nel triangolo ABC isoscele sulla base AB, AB= 8L e AC=BC= 5L. Dopo aver verificato che l'angolo ACB è ottuso, considera un punto P sul lato BC, tale che l'angolo BAP= x. Dette H e K, rispettivamente le proiezioni di P sul prolungamento di AC e su AB, determina x in modo ke sia verificata la relazione PH + PK= 16/5 L.
MI AIUTATE PARTENDO ANKE DALLE LIMITAZIONI DELLA X????? thanks
SOLUZIONI: si giunge all'equazione 5sinx-3cosx=0 con 0 minore uguale di x minore uguale di arcotangente di 3/4; il problema ha una sola soluzione x= arctangente di 3/5.
GRAZIE ANKORA 10 PUNTI ASSICURATI A KI LO SVOLGEEEEEEEE!
Comments
Senza disegno è un po' difficile capirsi comunque....
Traccia l'altezza CD del triangolo ABC
Si può facilmente vedere che
considera il triangolo ADC
abbiamo AC =5L
AD=AB/2 =4L
quindi per l'angolo ACD si ha che
sin ACD = AD/AC= 4/5
ACD = arcsin 4/5 = 53.1°
ACB = 2*ACD = 106.2 quindi : Ottuso
prma di proseguire calcoliamo alcuni dati che serviranno dopo:
CD = Radice (AC^2-AD^2)=3L
BAC=ABC
Sin BAC = 3/5
Cos BAC =4/5
Tg BAC = 3/4
Sin ACD=4/5
Cos ACD =3/5
Quindi detto BAP=x
PAC =BAC-x
l'anglo x deve essere compreso tra 0 e l'angolo BAC
0<=x<= BAC
ma tg BAC = 3/4 quindi
0<=x<= arctg 3/4
dai dati
abbiamo che
PK = AP sin x
PH = AP Sin PAC = AP Sin (BAC-x)
PH = AP(Sin BAC * Cos x - Cos BAC * Sin x)
PH= AP (3/5 Cos x- 4/5 Sin x)
Non ci resta che calcolare AP
applichiamo il teorema dei seni al triangolo
ACP
AP/Sin PCA = AC/Sin APC
PCA=ACB=2*ACD
sin PCA= Sin 2*ACD=
2*SinACD*CosACD= 2*3/5*4/5=24/25
APC=180-APK-BPK=
180-(90-x)-(90-ABC)=X+ABC=x+BAC
Sin APC= Sin(x+BAC)=
Sin x *CosBAC + Cos x*Sin BAC=
Sin APC=4/5Sin x+3/5Cos x
AP = AC * Sin PCA /Sin APC=
(5 L * 24/25) / (4/5Sin x+3/5Cos x)
AP =24 L / (4Sin x + 3Cos x)
la relazione finale impone
AP(Sin x + 3/5 Cos x- 4/5 Sin x)=16/5 L
24 L (Sin x + 3/5 Cos x- 4/5 Sin x) =
16/5 L (4Sin x + 3Cos x)
facendo i conti si arriva a
5sinx-3cosx=0
tg x= 3/5 x = arctg 3/5
fcgvbhnm,