¿Plano tangente y recta normal.?
Hallar el plano tangente y la recta normal en el punto que se indica.
Z= (x^2)y + e^(x^2 + y^2) en el punto (0,0)
Update:La ecuación del plano tangente que decís es
z-c = df/dx (a,b) (x-a) + df/dy (a,b) (y-b)
siendo c el valor de f(a,b)
Léase df/dx, df/dy como derivadas parciales, ya que no tengo el símbolo correcto de la notación.
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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §
⁻¹ º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Hola! Roberto. Dada la función escalar F(x,y,z) se denomina Gradiente de F y se nota ∇F al siguiente vector:
∇F(x, y, z) = [∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z]
Por su parte, si tienes una superficie dada en la forma "F(x,y,z) = 0", entonces el gradiente de F representará a un vector normal a la superficie en el punto de coordenadas (x,y,z).
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Finalmente, recuerda que un plano queda definido por un punto de paso y un vector normal al plano. De mismo modo, una recta queda definida por un punto de paso y un vector en la dirección de la recta.
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Dicho lo anterior analiza: "z = x² y + e^(x² + y²)"
Para (x,y) = (0,0) es z=1.
De modo que definimos la superficie como:
F(x,y,z) = x² y + e^(x² + y²) - z = 0
y nos interesa estudiarla en (0,0,1)
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Calculemos:
∂F/∂x = 2xy + 2x e^(x² + y²) ⇒ (∂F/∂x)(0,0,1) = 0
∂F/∂y = x² + 2y e^(x² + y²) ⇒ (∂F/∂y)(0,0,1) = 0
∂F/∂z = -1 ⇒ (∂F/∂z)(0,0,1) = -1
Deducimos que el vector normal del plano tangente ("n") así como el vector dirección de la recta ("d") es:
n = d = (0, 0, -1)
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PLANO TANGENTE. La forma gral. del plano es
ax + by + cz + d = 0
Para nuestro caso particular tendremos: (a,b,c) = (0,0,-1). O sea:
0.x + 0.y + (-1).z + d = 0 ⇒ z = d
Y como (0,0,1) es un punto del plano, "d" necesariamente toma el valor: "d=1", resultando:
z = 1 (ecuación del plano tangente)
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RECTA NORMAL. La representaré paramétricamente sabiendo que (0,0,1) es un punto de paso y que (0,0,-1) es su vector de dirección. Entonces:
x = 0
y = 0
z = 1 - t
(claramente se advierte que la recta coincide con el eje "z")
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Espero te haya sido útil.
Saludos, Cacho.
...
1. Evaluas el punto (0, 0) en la funcion original y te da c = 1
2. Obtienes la derivada parcial de z con respecto a x y te da
2*x*y + 2*x*e^(x^2+y^2) y la derivada parcial de z con respecto a y
x^2 + 2*y*e^(x^2+y^2)
3. Evaluas estas dos derivadas parciales para el punto (0, 0) y te dan ambas 0 (cero)
4. Sustituyes estos resultados en la ecuacion del plano tangente y te da
z - 1 = 0, es decir el plano tangente es z =1
5. luego la recta norma es la perpendicular a este plano tangente en el punto (0,0) y te da que es el eje z
Pon la expresión del plano tangente asà se te puede ayudar.
Te puedo adelantar si, que debes reemplazar (0,0) en la expresión de Z, es decir x= 0 e y=0. Con dichos puntos sale sola la expresión del plano. Pero repito, se necesita la expresión y no me la acuerdo.
La recta normal es fácil de armar también. Una vez que tienes el plano en dicho punto, elegÃs como vector director al vector normal del plano que esta en forma explicita en su ecuación, luego un punto perteneciente a la recta es el punto (0,0,z) con z igual a lo que obtengas de reemplazar en la ecuación. Con un director y un punto obtienes una única recta
Chau!