problema geometria seno coseno con k?
nel triangolo ABC si ha l'angolo B=2C determinare le ampiezze degli angoli del triangolo in modo che con l'altezza di AC detta BD e di AB detta CE si abbia la relazione 2BDalquadrato + CEalquadrato = 2KBCalquadrato il testo aggiunge casi particolari k=1 k=5/8 (non ho capito cosa vogliano dire) e come suggerimento dice di porre l'angolo ACB=X.... risultato = 1sol 0<x<9/8 compreso 9/8
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*** RISPOSTA
AC^B = x
AB^C = 2x
BA^C = π -AC^B-AB^C = π-3x
Per il teo. dei seni
AB = BC*senAC^B/senBA^C = BC senx/sen(π-3x) = BC senx/sen3x
BD = BC sen AC^B = BC senx
CE = AB sen AB^C = AB sen2x = BC senx*sen2x/sen3x
La relazione del problema si scrive
2BD² + CE² = 2kBC²
2BC² sen²x + BC² sen²x*sen²2x/sen²3x = 2kBC²
ovvero
2sen²x + sen²x*sen²2x/sen²3x = 2k
2sen²x + sen²x*sen²2x/sen²3x = 2k
2sen²x + sen²x*(2senxcosx)²/(3senx-4sen³x)² = 2k
2sen²x + 4sen²xcos²x/(3-4sen²x)² = 2k
2sen²x + 4sen²x(1-sen²x)/(9-24sen²x+16sen⁴x) = 2k
2sen²x + 4(sen²x-sen⁴x)/(9-24sen²x+16sen⁴x) = 2k
sen²x = t
t + 2(t-t²)/(9-24t+16t²) = k
t (16 t²-26 t+11)/(9-24t+16t²) = k
Affinché esista il triangolo deve essere x>0 e x<60°
Caso particolare k = 1
t (16 t²-26 t+11)/(9-24t+16t²) = 1
(-9+35t-42t²+16t³)/(9-24t+16t²) = 0
da cui
-9+35t-42t²+16t³ = 0
ovvero
(t-1) (2 t-1) (8 t-9) = 0
da cui
t = 1
t = 1/2
t = 9/8
ovvero
sen²x = 1 non compatibile con il triangolo
sen²x = 1/2 ----> senx = √2/2 -----> x= π/4
sen²x = 9/8 non compatibile (>1)
In questo caso si tratta di un triangolo rettangolo isoscele.
Caso particolare k = 5/8
t (16 t²-26 t+11)/(9-24t+16t²) = 5/8
sviluppando i calcoli si arriva a
x = 38.78° circa
Ci ho provato, ma mi sa che mi sono un po' incartato, o c'è qualcosa che non va nei dati (k=5/8)