volume tetraedro regolare...problema semplice ma...??????????

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• pinko

  May 2021

  Il tetraedro regolare è un solido che ha per facce 4 triangoli equilateri uguali. Se il lato di questi triangoli è a, la loro altezza sarà

  h(triang)=a/2*√3

  La sezione del tetraedro ottenuta con un piano perpendicolare alla base e passante per uno spigolo, sarà un triangolo isoscele avente per base lo spigolo e per lati obliqui due altezze di due facce (la faccia sulla base del tetraedro e una laterale).

  L'altezza del tetraedro cade nel punto O centro della circonferenza inscritta nel triangolo di base (ma anche di quella circoscritta al triangolo stesso). La distanza di O da un vertice del triangolo di base è proprio il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo e sappiamo che il raggio di tale circonferenza è il doppio del raggio della circonferenza inscritta. Essendo l'altezza del triangolo equilatero costituita dal raggio della circonferenza circoscritta + raggio della circonferenza inscritta, si avrà che il raggio della circonferenza circoscritta (=distanza di O dai vertici del triangolo di base) sarà

  R=(2/3)h(triang) = (2/3)a/2*√3 = a√3/3 = a/√3

  Allora applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo costituito dall'altezza del tetraedro, da uno spigolo e dalla distanza R di O dal vertice della base, si trova l'altezza del tetraedro:

  h(tetra)= √(a²-R²) = √[a²-(a/√3)²] = a√(2/3)

  L'altezza del tetraedro coincide anche con un'altezza del triangolo isoscele sezione, in particolare con l'altezza relativa ad uno dei lati obliqui, allora se l'area della sezione è A=4k²√2, l'altezza della sezione è a√(2/3) e la base della sezione è uno dei lati obliqui che avevamo detto coincidere con l'altezza dei triangoli equilateri facce del tetraedro (a/2*√3), possiamo impostare la seguente identità (b*h/2=A)per trovare la misura di a :

  (a/2*√3)*a√(2/3)/2 = 4k²√2

  => a²=16k² => a=4k

  Il volume di un tetraedro è V=(lato³√2)/12, quindi

  V=(a³√2)/12 = (4k)³√2/12 = 64k³√2/12 = 16k³√2/3