Salve vorrei sapere se qualcuno potesse svolgere e possibilmente spiegarmi questo esercizio di cauchy,,,grazie
y' = (x+3) * (y + 2)
y(0)=0
Dividiamo a destra e a sinistra per (y+2)
y' / (y+2) = x+3
L'espressione a sinistra è la derivata di log(y+2)
L'espressione a destra è la derivata di 1/2 x^2 + 3x
Riscrivo:
D [log(y+2)] = D [1/2 x^2 + 3x]
Quindi i due membri dell'equazione sono uguali a meno di una costante (la costante ha derivata zero).
log(y+2) = 1/2 x^2 + 3x + c
Faccio l'esponenziale di entrambi i membri
y + 2 = e^ {1/2 x^2 + 3x + c}
y = e^ {1/2 x^2 + 3x + c} - 2
Questa è la forma della soluzione. Resta da determinare la costante c, con la condizione su y(0):
y(0) = 0
e^ {1/2 0^2 + 3·0 + c} - 2 = 0
e^ {0 + c} = 2
c = log (2)
Quindi la soluzione è:
y = e^ {1/2 x^2 + 3x + log 2} - 2 = 2·e^ {1/2 x^2 + 3x} - 2
spero di essere stato abbastanza chiaro
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Dividiamo a destra e a sinistra per (y+2)
y' / (y+2) = x+3
L'espressione a sinistra è la derivata di log(y+2)
L'espressione a destra è la derivata di 1/2 x^2 + 3x
Riscrivo:
D [log(y+2)] = D [1/2 x^2 + 3x]
Quindi i due membri dell'equazione sono uguali a meno di una costante (la costante ha derivata zero).
log(y+2) = 1/2 x^2 + 3x + c
Faccio l'esponenziale di entrambi i membri
y + 2 = e^ {1/2 x^2 + 3x + c}
y = e^ {1/2 x^2 + 3x + c} - 2
Questa è la forma della soluzione. Resta da determinare la costante c, con la condizione su y(0):
y(0) = 0
e^ {1/2 0^2 + 3·0 + c} - 2 = 0
e^ {0 + c} = 2
c = log (2)
Quindi la soluzione è:
y = e^ {1/2 x^2 + 3x + log 2} - 2 = 2·e^ {1/2 x^2 + 3x} - 2
spero di essere stato abbastanza chiaro