Geometria Analítica (10 pontos pra quem postar a resposta com a resolução primeiro)?
Sejam as retas (r1): x = y+1=(z-1)/2 e (r2): -x=z-4 e y=0, com P=(r1)¬(r2) (r1 intersecção com r2). Determine a equação da reta (s) que intercepta as retas r1 e r2 em pontos Q e R, respectivamente, de tal forma quem a dintancia do ponto P ao ponto Q seja igual a 2√6 e a distancia do ponto P ao ponto R seja igual a √2
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Na realidade são 4 as possíveis rectas (s) ,como podes constatar facilmente com um esboço gráfico :
sendo P o ponto de intersecção de r1 com r2,existem 2 pontos Q1 e Q2 de r1 a uma distância dada de P (neste caso 2 √6) e dois pontos R1 e R2 de r2 a uma distância dada de P (neste caso √2) , logo a recta s pode ser definida por Q1 e R1,ou por Q1 e R2,ou por Q2 e R1,ou por Q2 e R2.
Repara ainda que as possíveis rectas s são paralelas duas a duas.
1º) Determinar o ponto P :
Como o ponto P é o ponto de intersecção de r1 com r2 ,as suas coordenadas (x,y,z) obedecerão às 4 equações
x=y+1
y+1=(z-1)/2
-x=z-4
y=0
x=1
z=3
-1=-1
y=0
P(1,0,3)
2º) Determinar o(s) ponto(s) Q :
Q Є r1
d(P,Q)=2√6
Sendo Q(x,y,z) ,
x=y+1
x=(z-1)/2
√[(x-1)²+y²+(z-3)²] = 2√6
y=x-1
z=2x+1
(x-1)²+(x-1)²+(2x+1-3)² = 24 (elevando ambos os membros da equação ao quadrado)
(x-1)²+(x-1)²+(2(x-1))² = 24
6(x-1)² = 24
(x-1)² = 4
x-1=2 V x-1=-2
x=3 V x=-1
Para x=3 vem y=x-1=2 e z=2x+1=7 ,ponto Q1=(3,2,7)
Para x=-1 vem y=-2 e z=-1 ,ponto Q2=(-1,-2,-1)
3º) Determinar o(s) ponto(s) R :
R Є r2
d(P,R)=√2
-x=z-4
y=0
√[(x-1)²+y²+(z-3)²] = √2
z=4-x
y=0
(x-1)²+(4-x-3)² = 2
(x-1)²+(1-x)² = 2
(x-1)²+(x-1)² = 2
2 (x-1)² = 2
(x-1)² = 1
x-1=1 V x-1=-1
x=2 V x=0
Para x=2 vem y=0 e z=4-x=2 , ponto R1=(2,0,2)
Para x=0 vem y=0 e z=4 , ponto R2=(0,0,4)
4º) Possíveis rectas s :
a) Com R1 e Q1 definimos a recta s1 com qualquer dos pontos e com o vector R1Q1=Q1-R1=(3,2,7)-(2,0,2)=(1,2,5)
(s1) : x-2=y/2=(z-2)/5
b) Com R1 e Q2
R1-Q2=(2,0,2)-(-1,-2,-1)=(3,2,3)
(s2) : (x-2)/3=y/2=(z-2)/3
c) Com R2 e Q1
Q1-R2=(3,2,7)-(0,0,4)=(3,2,3) ,logo s3 // s2 ,como tínhamos previsto no início.
(s3) : x/3=y/2=(z-4)/3
d) Com R2 e Q2
R2-Q2=(0,0,4)-(-1,-2,-1)=(1,2,5) , s4 // s1
(s4) : x=y/2=(z-4)/5
Nota final :
Como vimos a pergunta não está bem formulada,teria que ser :
"Determine a equação duma reta (s) que..."
ou ,se se pretendia o cálculo de todas as 4 rectas (s) ,
"Determine a equação da(s) reta(s) (s) que...",
mas nunca
"Determine a equação DA reta (s) que..."
(DA,contracção de preposição e artigo DEFINIDO,presume uma solução única,que não é o caso)
Podes dizer ao teu professor(ou professora),ou aos autores do livro ou prova de onde retiraste o exercício, que o bom português faz a boa matemática...