PA, alguém poderia me ajudar? com resolução?
Considere as seguintes progressões aritméticas: (1, 4, 7, ..., 178) e (2, 7, 12, ..., 177).
A quantidade de números iguais nessas duas sequências é igual a :
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
Segundo consta o gabarito a opção "C" está correta.
Comments
Interessante descobrirmos o número de termos de cada uma delas:
(1, 4, 7...,178).....a1 = 1.......r = 3.....an = 178
an = a1 + (n - 1).r
178 = 1 + (n - 1).3
177 = (n - 1).3
59 = n - 1
n = 60
(2, 7, 12,...,177).......a1 = 2........r = 5........an = 177
177 = 2 + (n - 1). 5
175 = (n - 1).5
35 = n - 1
n = 36
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37.........(a partir do 7, cada 5 repete)
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42....(a partir do 7, a cada 3 repete)
Os elementos repetidos são: 7, 22, 37....
Pegando a 2ª sequencia: Como tem 36 termos e o 2º termo = a2 = 7, então:
Sobram 34 termos: 34/3 = 11 e sobra 1...
Logo serão esses 11 e mais o '7' (11 + 1 = 12)
Meio chato explicar isso. Nem precisava saber quantos termos tinha a 1ª sequencia...
Talvez possa ser assim:
Como a fórmula do n-ésimo elemento (A) da primeira sequência é
A = 1+3m; m =0 ou natural
e da segunda (B)
B = 2+5l; l = 0 ou natural
A=B se 1+3m = 2+5l
ou 5l - 3m = -1
Dá pra ver que l=1 e m=2 é uma solução, que é quando as duas sequências assumem o valor 7 (segundo e terceiro termo respectivamente)
DaÃ, usando a técnica das eq. diofantinas temos que, para a segunda sequência, a solução geral é
l = 1 + 3k; k=0 ou natural (já que os coeficientes são primos entre si)
Basta então verificar quando 2+5(1+3k)<177, que é k<11,3.
Ou seja, o maior valor possÃvel é k=11. Como k=0 também é solução, temos doze valores repetidos nas duas sequências.
Abs.,
Thomas
Verificando se acertou as perguntas da OlimpÃada de Matemática? O resultado da 12, ou seja, a opção (C).