UCB 2013 MATEMÁTICA - GEOMETRIA ESPACIAL?
Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma
face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma
diagonal do cubo.
Ainda em relação ao cubo citado, considere que, em cada
um de seus vértices, serão pintados três triângulos
retângulos de mesma cor, cada um sobre uma das faces
para as quais aquele vértice é comum, com o vértice do
ângulo reto sendo o vértice do cubo, e com 0,4 cm em cada
um de seus catetos. Cada um dos vértices será pintado em
uma única cor, distinta de todas as outras. A partir daí, serão
escolhidos três de seus vértices para que se faça uma
truncagem do cubo. Truncar um sólido significa fazer nele um
ou mais cortes planos. Neste caso, serão feitos exatamente
três cortes planos sobre arestas que convergem em um
mesmo vértice, e tais cortes serão feitos a 0,4 cm de
distância dos vértices escolhidos. Calcule o total de poliedros
distintos que se pode obter, a partir do cubo, ao fazer os
cortes citados, considerando que um poliedro difere de outro
também pelas cores nas quais alguns de seus vértices estão
pintados. Marque na folha de respostas, desprezando, se
houver, a parte decimal do resultado final.
R= 56
Comments
Considero essa uma questão delicada, pelas margens de interpretação que ela deixa. Vou expor minha interpretação e meu raciocínio, e então você vê se concorda comigo.
A bem da verdade é que, a não ser pelo contexto da questão, ela não tem nenhuma demanda de geometria espacial propriamente falando. A resolução depende sim da aplicação dos conceitos de ANÁLISE COMBINATÓRIA.
Pois bem, temos um cubo que vai ser truncado precisamente nos planos definidos pelas hipotenusas dos triângulos pintados em cada vértice. Ao passar pelos vértices dos triângulos pintados (à exceção do vértice comum com o cubo), o plano separa exatamente as partes das respectivas faces que foram pintadas do restante do cubo. Mas como o processo de truncagem é feito somente em três vértices, teremos de recorrer à formula de COMBINAÇÃO para calcular o total de poliedros distintos que podem ser formados (escolhidos aleatoriamente 3 vértices do cubo).
Isto é: C 8,3 = 56
Além disso, temos de considerar também as partes que foram removidas da estrutura do cubo, menores, mas ainda assim, também geradas pelo processo de truncagem. São todas elas pirâmides triangulares, idênticas na forma mas de cores diferentes. Como no enunciado é dito que um poliedro difere do outro pela cor, então temos de considerar 8 sólidos distintos.
Ao todo temos, portanto, 64 (56+8) sólidos distintos possíveis de serem formados pelo processo descrito.
Finalizo propondo um outro desafio: qual seria o número de poliedros distintos gerados pelo processo de truncagem descrito caso o cubo original não tivesse sido pintado?
=D