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descrivere l'equazione generale della parabola, dopo averla definita, nei casi di asse di simmetria verticale e orizzontale. Discutere le condizioni di intersezione tra parabola e retta e tra 2 parabole.
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l'equazione della parabola è una equazione di secondo grado a due incognite nella quale non compore il termine in cui la x viene moltiplicata alla y: L'equazione di una parabola ridotta alla forma normale è del tipo:
y=ax^2+bx+c oppure x=ay^2+by+c con a sempre diverso da zero.
nel primo caso la parabola avrà asse di simmetria parallelo all'asse y; mentre nel secondo caso l'asse della parabola è parallelo all'asse delle x.
le equazioni di cui sopra hanno infinite soluzioni che rappresentate nel piano cartesiano configurano una parabola.
La parabola è una conica in quanto è possibile dimostrare che si ottiene mediante l'intersezione tra un piano e un cono.
Geometricamente la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola. Per luogo geometrico si intende un insieme di punti che godono tutti di una stessa proprieta.
I punti caratteristici della parabola sono il fuoco e il vertice.
STUDIO DELL'EQUAZIONE:
y=ax^2+bx+c
a seconda o meno della presenza dei coefficienti b e c (ricordo che a sempre diverso da zero) la parabola assumerà diverse posizioni nel piano cartesiano; precisamente si ha:
se b=0 l'equazione è del tipo:
y=ax^2+c
in questo caso l'asse di simmetria della parabola coincide con l'asse y ed il vertice della parabola è sull'asse y
se c=0 l'equazione è del tipo:
y=ax^2+bx
in questo caso la parabola passa per l'origine degli assi.
se b=0 e c=0 l'equazione è del tipo
y=ax^2
che rappresenta una parabola che ha asse di simmetria coincidente con l'asse y e vertice coincidente con l'origine degli assi.
Il coefficiente del termine di secondo grado "a" ci fornisce indicazioni sulla concavità della parabola. infatti se a>0 la parabola volge la concavità verso l'alto ed in tale circostanza il vertice rappresenta il punto di minima ordinata della curva.
se a<0 la parabola volge la concavità verso il basso e pertanto il vertice sarà il punto di massima ordinata.
STUDIO DELL'EQUAZIONE:
x=ay^2+by+c con a diverso da zero
a seconda o meno della presenza dei coefficienti b e c (ricordo che a sempre diverso da zero) la parabola assumerà diverse posizioni nel piano cartesiano; precisamente si ha:
se b=0 l'equazione è del tipo:
x=ay^2+c
in questo caso la parabola ha il suo vertice sull'asse x e l'asse di dimmetria è coincidente con l'asse x
se c=0
x=ay^2+by
la parabola passa per l'origine
se c=0 e b=0
la parabola ha il vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse x
a fornisce indicazioni sulla concavità della parabola in particolar modo se a>0 la parabola volge la concavità verso destra, mentre se a<0 la parabola volge la concavità verso sinistra
INTERSEZIONE TRA RETTA E PARABOLA
per determinare analiticamente le intersezione tra retta e parabola è sufficiente mettere a sistema le due equazioni; si presenteranno i seguenti casi:
1° ) il sistema ammette due coppie di solzioni distinte: e ciò significa che la retta interseca la parabola in due punti e quindi la retta è secante la parabola
2) il sistema ammette una sola coppia di soluzioni x e y:
e ciò significa che la parabola ha un solo punto in comune con la retta e quindi la retta è tangente la parabola
3) il sistema è impossibile: e ciò significa che la retta è esterna alla parabola.
INTERSEZIONE FRA DUE PARABOLE:
per determinare analiticamente le intersezione tra due parabole è sufficiente mettere a sistema le due equazioni.
si avrà un sistema di quarto grado. si presenteranno i seguenti casi:
se il sistema è impossibile le due parabole non hanno intersezioni:
se il sistema ha una soluzione le due parabole hanno un punto in comune e quindi sono fra loro tangenti.
ciao