usando metodo de Newton, hallar el punto de la gráfica de la parábola y=4-x^2 mas proxima al punto P(1,0), con una exactitud de seis cifras decimales.
∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∞ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ µ ß € № % ‰ §
⁽⁾⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
____________________
Hola! Bellako. Imagino que te estás refiriendo al método de Newton-Raphson...
Llamemos "Q" a un punto cualquiera de la parábola. Sus coordenadas quedarán determinadas del siguiente modo:
Q = [x, (4 - x²)]
La distancia (al cuadrado) entre P = (1, 0) y Q será:
Dist² = (x - 1)² + (4 - x²)² ❶
Interesa determinar el mínimo de ❶. Para ello derivamos esa expresión y la igualamos a cero:
2 Dist • Dist' = 2 (x-1) + 4 (x² - 4) x ⇒
Dist' = (2x³ - 7x - 1) / Dist = 0 ⇒
2x³ - 7x - 1 = 0 ❷
El método numérico de N-R se aplica -precisamente- a la determinación de los ceros de funciones, y tal es el caso que vemos en ❷. O sea que tenemos:
f(x) = 2x³ - 7x - 1
f '(x) = 6x² - 7
El método se basa en la aplicación recurrente de la siguiente fórmula:
Xn+1 = Xn - f(Xn) / f '(Xn)
Para que te quede claro te desarrollo las 3 primeras:
n = 0 → X₁ = X₀ - f(X₀) / f '(X₀)
n = 1 → X₂ = X₁ - f(X₁) / f '(X₁)
n = 2 → X₃ = X₂ - f(X₂) / f '(X₂)
Como verás: son "simples" cuentas cuyo objetivo es encontrar algún valor de "X" tal que:
f(X) = 0
ó "aproximadamente" cero.
El procedimiento comienza DEFINIENDO algún valor para "X₀". Este valor conviene que esté cercano a la raíz de f(x).
Como "f(1) = -6" y "f(2) = 1" adoptamos:
X₀ = 2
Estamos en condiciones de determinar "X₁":
X₁ = X₀ - f(X₀) / f '(X₀) ⇒
X₁ = 2 - f(2) / f '(2) = 2 - (1 / 17) = 1,941176471
Ya tenemos "X₁", por lo que podemos calcular "X₂"... y así sucesiva y recurrentemente.
Conviene, entonces, disponer una tabla como la que te muestro en el siguiente enlace: http://img80.imageshack.us/img80/4112/demo783.jpg
Advierte que ya en la 4ª iteración has llegado al valor buscado pues es el valor de "x" que hace:
f( 1,9385371912305) = 0
Espero te haya sido de utilidad.
Saludos, Cacho.
...
No sé cuál sea el método de Newton pero si utilizas las ecuaciones del Hessiano o Lagrange seguro te sale.
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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∞ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ µ ß € № % ‰ §
⁽⁾⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Hola! Bellako. Imagino que te estás refiriendo al método de Newton-Raphson...
Llamemos "Q" a un punto cualquiera de la parábola. Sus coordenadas quedarán determinadas del siguiente modo:
Q = [x, (4 - x²)]
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La distancia (al cuadrado) entre P = (1, 0) y Q será:
Dist² = (x - 1)² + (4 - x²)² ❶
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Interesa determinar el mínimo de ❶. Para ello derivamos esa expresión y la igualamos a cero:
2 Dist • Dist' = 2 (x-1) + 4 (x² - 4) x ⇒
Dist' = (2x³ - 7x - 1) / Dist = 0 ⇒
2x³ - 7x - 1 = 0 ❷
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El método numérico de N-R se aplica -precisamente- a la determinación de los ceros de funciones, y tal es el caso que vemos en ❷. O sea que tenemos:
f(x) = 2x³ - 7x - 1
f '(x) = 6x² - 7
El método se basa en la aplicación recurrente de la siguiente fórmula:
Xn+1 = Xn - f(Xn) / f '(Xn)
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Para que te quede claro te desarrollo las 3 primeras:
n = 0 → X₁ = X₀ - f(X₀) / f '(X₀)
n = 1 → X₂ = X₁ - f(X₁) / f '(X₁)
n = 2 → X₃ = X₂ - f(X₂) / f '(X₂)
Como verás: son "simples" cuentas cuyo objetivo es encontrar algún valor de "X" tal que:
f(X) = 0
ó "aproximadamente" cero.
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El procedimiento comienza DEFINIENDO algún valor para "X₀". Este valor conviene que esté cercano a la raíz de f(x).
Como "f(1) = -6" y "f(2) = 1" adoptamos:
X₀ = 2
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Estamos en condiciones de determinar "X₁":
X₁ = X₀ - f(X₀) / f '(X₀) ⇒
X₁ = 2 - f(2) / f '(2) = 2 - (1 / 17) = 1,941176471
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Ya tenemos "X₁", por lo que podemos calcular "X₂"... y así sucesiva y recurrentemente.
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Conviene, entonces, disponer una tabla como la que te muestro en el siguiente enlace: http://img80.imageshack.us/img80/4112/demo783.jpg
Advierte que ya en la 4ª iteración has llegado al valor buscado pues es el valor de "x" que hace:
f( 1,9385371912305) = 0
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Espero te haya sido de utilidad.
Saludos, Cacho.
...
No sé cuál sea el método de Newton pero si utilizas las ecuaciones del Hessiano o Lagrange seguro te sale.