Questão de geometria de vestibular.?
Por favor, me ajudem com esta questão do vestibular de São Paulo que envolve área de um triângulo e hipotenusa.
"A área de um triângulo retângulo é 12dm². Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.
Gostaria de ver passo a passo como se soluciona. Desde já, obridada!
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Boa tarde,
Chamaremos os lados de h, c e b, onde h é a hipotenusa.
A área de um triângulo retângulo é obtida pela multiplicação entre os catetos e a divisão por 2:
A=c.b/2
12=c.b/2
c.b/2=12
c.b=12.2
c.b=24
Um dos catetos é 2/3 do outro, então faça:
c=2b/3
Temos agora um sistema de duas equações.
c.b=24
c=2b/3
Substituindo a 2ª equação na 1ª:
2b/3 . b =24
2b²/3 = 24
2b²=24.3
2b²=72
b²=72/2
b²=36
b=V36
b=6dm
Achando agora o valor de c:
c.b=24
c.6=24
c=24/6
c=4dm
Pronto, é só utilizar o teorema de Pitágoras:
h²=b²+c²
h²=6²+4²
h²=36+16
h²=52
h=V52
h=V4.13
h=V4.V13
h=2.V13 dm ( Valor da hipotenusa).
Fonte(s):
http://fisicamatematicamarcelo.blogspot.com/
Considere cateto misterioso como X e outro 2/3.X. Resolvendo na fórmula da área do triângulo:
(X . 2/3.X)/2=12
X²/3=12
X²=36
x=6
Um cateto será 6 e outro 4... resolvendo por pitágoras (hipotenusa ao quadrado é = a soma dos quadrados dos catetos) temos
hipotenusa= raiz quadrada da soma de 36 e 16, sendo raÃz quadrada de 52 que racionalizando é 2V13
Sendo a área do triângulo igual a (base x altura)/2 e sendo um dos catetos igual a 2/3 do outro, temos:
a.b/2 = 12
a = 2b/3
Substituindo a 2ª na 1ª, temos:
(2b/3).(b/2) = 12
2b²/6 = 12
b² = 36
b = 6 (cateto)
Como a = 2b/3, temos:
a = 2b/3
a = 2.6/3
a = 4 (cateto)
Pelo Teorema de Pitágoras, vem:
a² + b² = h² (h = hipotenusa)
4² + 6² = h²
16 + 36 = h²
h² = 52
h = 2â13
Lados de um triângulo:
Cateto1 = C1
Cateto2 = C2
Hipotenusa = H
C1² + C2² = H²
C1 = 2/3C2
Ãrea é (C1 * C2)/2
12 = (C2 * 2/3C2) / 2
C2² = 24 * 3/2
C2² = 36
C2 = 6
C1 = 2/3C2
C1² = 4/9C2²
C1² = 4/9 * 36
C1² = 16
C1 = 4
C1² + C2² = H²
16 + 36 = H²
H² = 52
H = Raiz(52) ou 2*Raiz(13)