Determinar el menor valor de K en (m+n)^3/(m^3+n^3)≤k; ∀ m,n ∈ R+.
A) 2 B)3 C)4 D)8 E)1
Gracias de Antemano.
OBSERVA
Factorización de la suma de cubos
m³ +n³ = (m+n)(m² ‒mn +n² )
ASI
(m+n)^3/(m^3+n^3)
(m+n)³/(m+n)(m²‒ mn +n²)
Simplificando
(m+n)²/(m²‒ mn +n²)
LUEGO
[(m² +2mn +n²)/(m²‒ mn +n²)] ≤ k
Evaluando las repuestas de k
Para k=1
Se tendrá:
m² +2mn +n² ≤ m²‒ mn +n²
Cancelando términos semejantes nos queda
3mn ≤ 0 pero esta posibilidad no puede ser ¿por qué?
Para k=2
m² +2mn +n² ≤ 2(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 2m²‒ 2mn +2n²
Reduciendo términos semejantes,
2mn ≤ m²‒ 2mn +n²
2mn ≤ (m ‒ n)²
Esta desigualdad no se cumple ya que para m= 2, n=1 se tiene:
2(2)(1) ≤ (1) ²
4 ≤1 , esto es falso.
Para k= 3
m² +2mn +n² ≤ 3(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 3m²‒ 3mn +3n²
Reduciendo términos semejantes:
0 ≤ 2m²‒ 5mn +2n²
0 ≤ 2(m²‒2 mn +n²) ‒mn
mn/2 ≤ (m ‒ n)²
Esta desigualdad no se cumple ya que para m= 3, n=2 se tiene:
3•2/2 ≤ (1)² → 3 ≤ 1 , esto es falso.
Para k=4
m² +2mn +n² ≤ 4(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 4m²‒ 4mn +4n²
0 ≤ 3m²‒ 6mn +3n²
0 ≤ 3(m²‒2 mn +n²)
0 ≤ (m ‒ n)² ….¡esta desigualdad es siempre cierta!
Para k=8
m² +2mn +n² ≤ 8(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 8m²‒ 8mn +8n²
2mn ≤ 7m²‒8 mn +7n²
2mn ‒6mn ≤ 7m²‒8 mn +7n² ‒6mn
-4mn ≤ 7m²‒14 mn +7n²
‒4mn ≤ 7(m²‒2mn +n²)
‒4mn/7 ≤ (m ‒ n)² ….¡esta desigualdad es siempre cierta! (un número positivo es mayor que un negativo)
De acuerdo a las condiciones del problema ,
La solución es k=4 . Opción de respuesta C)
Agradece y tu comentario.
No se
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OBSERVA
Factorización de la suma de cubos
m³ +n³ = (m+n)(m² ‒mn +n² )
ASI
(m+n)^3/(m^3+n^3)
(m+n)³/(m+n)(m²‒ mn +n²)
Simplificando
(m+n)²/(m²‒ mn +n²)
LUEGO
[(m² +2mn +n²)/(m²‒ mn +n²)] ≤ k
Evaluando las repuestas de k
Para k=1
Se tendrá:
m² +2mn +n² ≤ m²‒ mn +n²
Cancelando términos semejantes nos queda
3mn ≤ 0 pero esta posibilidad no puede ser ¿por qué?
Para k=2
m² +2mn +n² ≤ 2(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 2m²‒ 2mn +2n²
Reduciendo términos semejantes,
2mn ≤ m²‒ 2mn +n²
2mn ≤ (m ‒ n)²
Esta desigualdad no se cumple ya que para m= 2, n=1 se tiene:
2(2)(1) ≤ (1) ²
4 ≤1 , esto es falso.
Para k= 3
m² +2mn +n² ≤ 3(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 3m²‒ 3mn +3n²
Reduciendo términos semejantes:
0 ≤ 2m²‒ 5mn +2n²
0 ≤ 2(m²‒2 mn +n²) ‒mn
mn/2 ≤ (m ‒ n)²
Esta desigualdad no se cumple ya que para m= 3, n=2 se tiene:
3•2/2 ≤ (1)² → 3 ≤ 1 , esto es falso.
Para k=4
m² +2mn +n² ≤ 4(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 4m²‒ 4mn +4n²
Reduciendo términos semejantes:
0 ≤ 3m²‒ 6mn +3n²
0 ≤ 3(m²‒2 mn +n²)
0 ≤ (m ‒ n)² ….¡esta desigualdad es siempre cierta!
Para k=8
m² +2mn +n² ≤ 8(m²‒ mn +n²)
m² +2mn +n² ≤ 8m²‒ 8mn +8n²
Reduciendo términos semejantes:
2mn ≤ 7m²‒8 mn +7n²
2mn ‒6mn ≤ 7m²‒8 mn +7n² ‒6mn
-4mn ≤ 7m²‒14 mn +7n²
‒4mn ≤ 7(m²‒2mn +n²)
‒4mn/7 ≤ (m ‒ n)² ….¡esta desigualdad es siempre cierta! (un número positivo es mayor que un negativo)
De acuerdo a las condiciones del problema ,
La solución es k=4 . Opción de respuesta C)
Agradece y tu comentario.
No se