¿trigonometria problema sencillo?
me gustaria saber las soluciones a este problema, lo he resuelto y quiero ver si lo he resuelto bien!! graciaaas!
La chimenea de una fábrica mide 10 m y está situada sobre el tejado del edificio.
Nos situamos frente a éste, a una cierta distancia. Desde ahí, se observa la base de
la chimenea bajo un ángulo de 53º y su extremo superior bajo un ángulo de 63º.
¿A qué distancia estamos del edificio? ¿Cuál es su altura total?
Comments
La chimenea+fabrica y el piso forman un ángulo de 90 grados, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo.
llamemos
x= altura de la fabrica,
y =altura de la chimenea + fabrica
z= distancia entre la fabrica y el observador.
tan(53º)=x/z
tan(63º)= y/z
y=10+x (la chimenea mide 10metros)
despejando z de las 2 primeras ecuaciones e igualando
z=x/tan(53º)
z=y/tan(63º)
x/tan(53º)=y/tan(63º)
o bien
x*tan(63º)=y*tan(53º)
reemplazando y=10+x
x*tan(63º)=(10+x)*tan(53º)
x*tan(63º)=10*tan(53º)+x*tan(53º)
x*tan(63º)-x*tan(53º)=10*tan(53º)
x*(tan(63º)-tan(53º))=10*tan(53º)
x=10*tan(53º)/*(tan(63º)-tan(53º))
x=20,88 <---------- altura de la fabrica
y=10+x
y=10+20,88
y=38,88 <--------- altura de fabrica + chimenea
z=x/tan(53º)
z=10*tan(53º)/*(tan(63º)-tan(53º))/tan(53º)
z=10/(tan(63º)-tan(53º))
z=15,73 <---------- distancia de la fabrica al observador
Suerte
Tenemos 2 triángulos rectángulos.
El primero formado por:
Angulo A = 53º
Cateto opuesto al ángulo A = altura del edificio = y
Cateto contÃguo al ángulo A = distancia desde el observador a la base del edificio = x
El segundo formado por:
Angulo B = 63º
Cateto opuesto al ángulo B = altura del edificio+ altura chimenea = y+10
Cateto contÃguo al ángulo B = distancia desde el observador a la base del edificio = x
Por la razón tangente sabemos que:
tgα = cateto opuesto a α /cateto contÃguo a α
Luego:
tg53º = y/x
tg63º = (y+10)/x
Despejando x en ambas:
x = y/tg53º..............(1)
x = (y+10)/tg63º......(2)
Igualandolas:
y/tg53º = (y+10)/tg63º
De donde:
(y)tg63º = (y+10)tg53º
1,962610506y = 1,327044822y+13,27044822
0,635565683y = 13,27044822
y = 13,27044822/0,635565683
y = 20,87974316
Sustituyendo el valor de y = 20,87974316 en la ecuacióno (1), tendremos que:
x = y/tg53º
x = 20,87974316/1,327044822
x = 15,73401502
Respuesta.- Estamos a 15,73 m del edificio y la altura total es: y+10 = 20,87974316+10 = 30,88 m
Saludos y hasta la próxima
Hola Andrea
Puedes ver la solución del problema en http://calculo21.blogspot.com/2009/06/aplicacion-d...
De una parte un triangulo cuyos ángulos podemos extraer fácilmente del enunciado:
A = 180-63 = 143º
B = 63-53 = 10º
C = 180-143-10 = 27º
y un lado
c = 10
Como tenemos un triangulo del cual conocemos un lado y los ángulos adyacentes, podemos aplicar el teorema del seno:
a = c·SinC/SinB
a = 10·Sin27/sin10 = 10·0,4540/0,1736 = 26,15m
Esta es la longitud de la diagonal entre el observador y la base de la chimenea, asà podemos definir un segundo triángulo del que extraer los resultados:
Lo podemos hacer muy fácilmente con las razones trigonométricas, ya que se trata de un ángulo recto y conocemos la hipotenusa y los ángulos adyacentes:
h = 26,15·Sin37º = 26,15·0,6018 = 15,73 m
d = 26,15/Sin37º = 26,15/0,6018 = 20,88 m
con el teorema del seno, sacamos la distancia de la persona a la parte superior o inferior (da igual) de la chimenea
en este caso la superior, tenemos 2 triangulos, calculamos el de arriba
si "a" es la chimenea, b es la distancia a la parte superior, y c la distancia a la parte inferior
a=10,
angulo A=10°,, (63-53),
angulo B=143°,, (180-37)
b / sen(B) = a / sen(A)
b = a sen(B) / sen (A)
b= 10 sen(143) / sen (10)
b= 34.6571m
llamamos "d" a la distancia al edificio, y "h" a la altura de el edificio junto con la chimenea
entonces la altura del edificio sin chimenea sera
x=h-10
tenemos entonces un triangulo rectangulo formado por b, d y h
b es la hipotenusa, y queremos calcular h, que es el cateto opuesto del angulo H (osea el angulo opuesto al lado h)
h / b = sen H
h = b sen H
h = 34.6571 sen 63
h = 30.8797
x = 30.8797 - 10
x = 20.8797
la altura del edificio sin chimenea es 20.8797m
ya nomas la distancia de la persona al edificio es:
d = RAIZ [ (34.6571)^2 - (30.8797)^2]
d = 15.7340
la distancia al edificio es 15.7340m
saludos
bueno andrea decimos que la altura del edificio es X, entonces la altura total es 10+X lo que es el cateto opuesto del triángulo que forma el edificio mas la chimenea y que tiene un angulo de 63º, estamos a una distancia L, planteamos la ecuacion para ese triangulo y despejamos L lo que nos da como resultado que
L=(10+X)/tan 63, ahora sacamos otra ecuacion con el triangulo pequeño que esta formado por la altura del edificio X y la distancia L, despejamos nuuevamente L que nos da
L= X/tan53
ahora tenemos dos ecuaciones en funcion de X y de L las igualamos y despejamos el valor de X lo que nos da X=20.8797 la altura del edificio luego este valor lo reemplazamos en cualquiera de las otras ecuaciones y hallamos la distancia L que es de 15.734