¿trigonometria problema sencillo?

me gustaria saber las soluciones a este problema, lo he resuelto y quiero ver si lo he resuelto bien!! graciaaas!

La chimenea de una fábrica mide 10 m y está situada sobre el tejado del edificio.

Nos situamos frente a éste, a una cierta distancia. Desde ahí, se observa la base de

la chimenea bajo un ángulo de 53º y su extremo superior bajo un ángulo de 63º.

¿A qué distancia estamos del edificio? ¿Cuál es su altura total?

Comments

  • La chimenea+fabrica y el piso forman un ángulo de 90 grados, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo.

    llamemos

    x= altura de la fabrica,

    y =altura de la chimenea + fabrica

    z= distancia entre la fabrica y el observador.

    tan(53º)=x/z

    tan(63º)= y/z

    y=10+x (la chimenea mide 10metros)

    despejando z de las 2 primeras ecuaciones e igualando

    z=x/tan(53º)

    z=y/tan(63º)

    x/tan(53º)=y/tan(63º)

    o bien

    x*tan(63º)=y*tan(53º)

    reemplazando y=10+x

    x*tan(63º)=(10+x)*tan(53º)

    x*tan(63º)=10*tan(53º)+x*tan(53º)

    x*tan(63º)-x*tan(53º)=10*tan(53º)

    x*(tan(63º)-tan(53º))=10*tan(53º)

    x=10*tan(53º)/*(tan(63º)-tan(53º))

    x=20,88 <---------- altura de la fabrica

    y=10+x

    y=10+20,88

    y=38,88 <--------- altura de fabrica + chimenea

    z=x/tan(53º)

    z=10*tan(53º)/*(tan(63º)-tan(53º))/tan(53º)

    z=10/(tan(63º)-tan(53º))

    z=15,73 <---------- distancia de la fabrica al observador

    Suerte

  • Tenemos 2 triángulos rectángulos.

    El primero formado por:

    Angulo A = 53º

    Cateto opuesto al ángulo A = altura del edificio = y

    Cateto contíguo al ángulo A = distancia desde el observador a la base del edificio = x

    El segundo formado por:

    Angulo B = 63º

    Cateto opuesto al ángulo B = altura del edificio+ altura chimenea = y+10

    Cateto contíguo al ángulo B = distancia desde el observador a la base del edificio = x

    Por la razón tangente sabemos que:

    tgα = cateto opuesto a α /cateto contíguo a α

    Luego:

    tg53º = y/x

    tg63º = (y+10)/x

    Despejando x en ambas:

    x = y/tg53º..............(1)

    x = (y+10)/tg63º......(2)

    Igualandolas:

    y/tg53º = (y+10)/tg63º

    De donde:

    (y)tg63º = (y+10)tg53º

    1,962610506y = 1,327044822y+13,27044822

    0,635565683y = 13,27044822

    y = 13,27044822/0,635565683

    y = 20,87974316

    Sustituyendo el valor de y = 20,87974316 en la ecuacióno (1), tendremos que:

    x = y/tg53º

    x = 20,87974316/1,327044822

    x = 15,73401502

    Respuesta.- Estamos a 15,73 m del edificio y la altura total es: y+10 = 20,87974316+10 = 30,88 m

    Saludos y hasta la próxima

  • Hola Andrea

    Puedes ver la solución del problema en http://calculo21.blogspot.com/2009/06/aplicacion-d...

  • De una parte un triangulo cuyos ángulos podemos extraer fácilmente del enunciado:

    A = 180-63 = 143º

    B = 63-53 = 10º

    C = 180-143-10 = 27º

    y un lado

    c = 10

    Como tenemos un triangulo del cual conocemos un lado y los ángulos adyacentes, podemos aplicar el teorema del seno:

    a = c·SinC/SinB

    a = 10·Sin27/sin10 = 10·0,4540/0,1736 = 26,15m

    Esta es la longitud de la diagonal entre el observador y la base de la chimenea, así podemos definir un segundo triángulo del que extraer los resultados:

    Lo podemos hacer muy fácilmente con las razones trigonométricas, ya que se trata de un ángulo recto y conocemos la hipotenusa y los ángulos adyacentes:

    h = 26,15·Sin37º = 26,15·0,6018 = 15,73 m

    d = 26,15/Sin37º = 26,15/0,6018 = 20,88 m

  • con el teorema del seno, sacamos la distancia de la persona a la parte superior o inferior (da igual) de la chimenea

    en este caso la superior, tenemos 2 triangulos, calculamos el de arriba

    si "a" es la chimenea, b es la distancia a la parte superior, y c la distancia a la parte inferior

    a=10,

    angulo A=10°,, (63-53),

    angulo B=143°,, (180-37)

    b / sen(B) = a / sen(A)

    b = a sen(B) / sen (A)

    b= 10 sen(143) / sen (10)

    b= 34.6571m

    llamamos "d" a la distancia al edificio, y "h" a la altura de el edificio junto con la chimenea

    entonces la altura del edificio sin chimenea sera

    x=h-10

    tenemos entonces un triangulo rectangulo formado por b, d y h

    b es la hipotenusa, y queremos calcular h, que es el cateto opuesto del angulo H (osea el angulo opuesto al lado h)

    h / b = sen H

    h = b sen H

    h = 34.6571 sen 63

    h = 30.8797

    x = 30.8797 - 10

    x = 20.8797

    la altura del edificio sin chimenea es 20.8797m

    ya nomas la distancia de la persona al edificio es:

    d = RAIZ [ (34.6571)^2 - (30.8797)^2]

    d = 15.7340

    la distancia al edificio es 15.7340m

    saludos

  • bueno andrea decimos que la altura del edificio es X, entonces la altura total es 10+X lo que es el cateto opuesto del triángulo que forma el edificio mas la chimenea y que tiene un angulo de 63º, estamos a una distancia L, planteamos la ecuacion para ese triangulo y despejamos L lo que nos da como resultado que

    L=(10+X)/tan 63, ahora sacamos otra ecuacion con el triangulo pequeño que esta formado por la altura del edificio X y la distancia L, despejamos nuuevamente L que nos da

    L= X/tan53

    ahora tenemos dos ecuaciones en funcion de X y de L las igualamos y despejamos el valor de X lo que nos da X=20.8797 la altura del edificio luego este valor lo reemplazamos en cualquiera de las otras ecuaciones y hallamos la distancia L que es de 15.734

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