A prova é trivial: se n for par, também o é n² e a diferença de dois pares é sempre par; Se n for ímpar, também o é n² e a diferença de 2 ímpares também é sempre par.
Como n² - n é sempre par, pode ser escrito na forma 2k.
A explicação para q^2 + q = 2k. Vêm de um exercÃcio anterior a esse. Caso vc esteja usando o livro Números vc vai achar esse exercÃcio na mesma página.
Considerando verdadeira a afirmativa de que o quadrado de dois números Ãmpares podem ser escritos na forma de 8k+1 (foi isso que eu entendi da pergunta, se estiver errado dê um sinal), podemos igualar as duas:
4k²+4k+1=8k+1
temos
4k²=4k
as raÃzes são k1=0 e k2=1.
Os dois números quadrados Ãmpares que podem ser escritos na forma 8k+1 são 1, para k=0 e 9 para k=1.
Comments
Um número ímpar é dado por 2n - 1, com n natural.
Seu quadrado é dado por:
(2n - 1)² = 4n² - 4n + 1 = 4(n² - n) + 1
Valores de n² - n para n natural:
n n² - n
1 0
2 2
3 6
4 12
5 20
Como se vê, n² - n é sempre par.
A prova é trivial: se n for par, também o é n² e a diferença de dois pares é sempre par; Se n for ímpar, também o é n² e a diferença de 2 ímpares também é sempre par.
Como n² - n é sempre par, pode ser escrito na forma 2k.
Portanto:
(2n - 1)² = 4(n² - n) + 1 = 4(2k) + 1 = 8k + 1
CQD
(2q +1)^2 = 4q^2 + 4q +1 = 4(q^2 + q) + 1 = 4(2k) + 1 = 8k + 1.
A explicação para q^2 + q = 2k. Vêm de um exercÃcio anterior a esse. Caso vc esteja usando o livro Números vc vai achar esse exercÃcio na mesma página.
Um número primo pode ser representado como 2k+1 onde k é natural.
O quadrado do número primo seria:
(2k+1)²=4k²+4k+1
Considerando verdadeira a afirmativa de que o quadrado de dois números Ãmpares podem ser escritos na forma de 8k+1 (foi isso que eu entendi da pergunta, se estiver errado dê um sinal), podemos igualar as duas:
4k²+4k+1=8k+1
temos
4k²=4k
as raÃzes são k1=0 e k2=1.
Os dois números quadrados Ãmpares que podem ser escritos na forma 8k+1 são 1, para k=0 e 9 para k=1.
EU SEI, MAS NÃO VOU FALAR