Determine a soluções (2 cos² x + 3sen x)(cos² x – sen² x) = 0, que estão no intervalo [0,2π]
Vamos lá.
Pede-se para determinar as soluções de:
(2cos²x + 3senx) * (cos²x - sen²x) = 0 -----daqui você conclui que:
ou
2cos²x + 3senx = 0 . (I)
cos²x - sen²x = 0 . (II)
Resolvendo (I), temos:
2cos²x + 3senx = 0 -------veja que cos²x = 1-sen²x. Então:
2.(1-sen²x) + 3senx = 0 ----efetuando a multiplicação indicada, temos:
2 - 2sen²x + 3senx = 0 -----ordenando, temos:
-2sen²x + 3senx + 2 = 0 -----Para facilitar os trabalhos, vamos multiplicar tudo por (-1)
2sen²x - 3senx - 2 = 0 -----Aplicando Bh´paskara, você encontra as seguintes raízes:
senx' = 2 <----Esta raiz está descartada. O seno de qualquer arco só varia de (-1) a (1).
senx'' = -1/2 <----Esta é a raiz válida.
Veja que o seno é igual a (-1/2), no intervalo dado (0; 2pi) nos arcos de:
210º = 7pi/6 . (III)
e
330º = 11pi/6 . (IV)
Resolvendo (II), temos:
cos²x - sen²x = 0 ----- veja que cos²x = 1-sen²x. Assim, ficamos com:
1-sen²x - sen²x = 0
1 - 2sen²x = 0
-2sen²x = = -1 -----------multiplicando tudo por (-1), ficamos com:
2sen²x = 1
sen²x = 1/2
..................____
senx = +-V(1/2)
................._...._
senx = +-V1/V2
....................._
senx = +-1/V2 -----racionalizando, temos que:
................._
senx = +-V2 / 2 -----ou seja:
................_
senx' = -V2 / 2
..............._
senx'' = V2 / 2
Veja que, no intervalo dado [0; 2pi], o seno é igual a menos (raiz quadrada de 2)/2 nos arcos de:
225º = 5pi/4 . (V)
315º = 7pi/4 . (VI)
E o seno é igual a +(raiz de 2)/2 nos arcos de:
45º = pi/4 . (VII)
135º = 3pi/4 . (VIII)
Então, conforme as igualdades (III), (IV), (V), (VI), (VII) e (VIII), temos que as soluções são, no intervalo dado [0; 2pi]:
x = 7pi/6 (210º); 11pi/6 (330º); 5pi/4 (225º); 7pi/4 (315º); pi/4 (45º) e 3pi/4 (135º) , ou ordenando, temos:
x = pi/4 (45º); 3pi/4 (135º); 7pi/6 (210º); 5pi/4 (225º); 7pi/4 (315º) e 11pi/6 (330º)
É isso aí.
OK?
Adjemir.
Temos 2 casos a considerar:
1 caso)cos²x-sen²x=0
2 caso)2cos²x+3senx=0
Vamos resolver o caso 1:
cos²x=sen²x
Porém, sabemos que
sen²x+cos²x=1
=>sen²x=1/2
=>senx=sen 45 (raiz(2)/2)
ou senx=-sen45=sen225
Se senx=sen45 temos 2
casos no intervalo [0,2Ï]
que são:
x=45 ou x=135
Se senx=sen225 temos 2 casos:
x=225 ou x =315
2caso)
2cos²x+3senx=0
=>
2(1-sen²x)+3senx=0
2sen²x-3senx-2=0
delta=25
senx=(3+5)/4=2(não pode)
ou senx=(3-5)/4=-1/2
=>x=210 ou 330
Respostas:
x=45,135,225,315,210 ou 330
Ou melhor:
x=Ï/4, 3Ï/4, 5Ï/4, 7Ï/4, 7Ï/6 ou 11Ï/6
(cos^2)x= 1-(sen^2)x
-2(sen^2)x +3sen x + 2= 0
sen x = y
-2(y^2) +3y +2=0
y=2 ( não) ou y= -1/2 (correto)
senx=-1/2
x= 11pi/6 radianos
ou 1-2(sen^2)x= 0
senx= + - (1/2)^(1/2)
x= pi/4 ou 7pi/4
soluções:pi/4;7pi/4 ou 11pi/6.
Comments
Vamos lá.
Pede-se para determinar as soluções de:
(2cos²x + 3senx) * (cos²x - sen²x) = 0 -----daqui você conclui que:
ou
2cos²x + 3senx = 0 . (I)
ou
cos²x - sen²x = 0 . (II)
Resolvendo (I), temos:
2cos²x + 3senx = 0 -------veja que cos²x = 1-sen²x. Então:
2.(1-sen²x) + 3senx = 0 ----efetuando a multiplicação indicada, temos:
2 - 2sen²x + 3senx = 0 -----ordenando, temos:
-2sen²x + 3senx + 2 = 0 -----Para facilitar os trabalhos, vamos multiplicar tudo por (-1)
2sen²x - 3senx - 2 = 0 -----Aplicando Bh´paskara, você encontra as seguintes raízes:
senx' = 2 <----Esta raiz está descartada. O seno de qualquer arco só varia de (-1) a (1).
senx'' = -1/2 <----Esta é a raiz válida.
Veja que o seno é igual a (-1/2), no intervalo dado (0; 2pi) nos arcos de:
210º = 7pi/6 . (III)
e
330º = 11pi/6 . (IV)
Resolvendo (II), temos:
cos²x - sen²x = 0 ----- veja que cos²x = 1-sen²x. Assim, ficamos com:
1-sen²x - sen²x = 0
1 - 2sen²x = 0
-2sen²x = = -1 -----------multiplicando tudo por (-1), ficamos com:
2sen²x = 1
sen²x = 1/2
..................____
senx = +-V(1/2)
................._...._
senx = +-V1/V2
....................._
senx = +-1/V2 -----racionalizando, temos que:
................._
senx = +-V2 / 2 -----ou seja:
................_
senx' = -V2 / 2
..............._
senx'' = V2 / 2
Veja que, no intervalo dado [0; 2pi], o seno é igual a menos (raiz quadrada de 2)/2 nos arcos de:
225º = 5pi/4 . (V)
e
315º = 7pi/4 . (VI)
E o seno é igual a +(raiz de 2)/2 nos arcos de:
45º = pi/4 . (VII)
e
135º = 3pi/4 . (VIII)
Então, conforme as igualdades (III), (IV), (V), (VI), (VII) e (VIII), temos que as soluções são, no intervalo dado [0; 2pi]:
x = 7pi/6 (210º); 11pi/6 (330º); 5pi/4 (225º); 7pi/4 (315º); pi/4 (45º) e 3pi/4 (135º) , ou ordenando, temos:
x = pi/4 (45º); 3pi/4 (135º); 7pi/6 (210º); 5pi/4 (225º); 7pi/4 (315º) e 11pi/6 (330º)
É isso aí.
OK?
Adjemir.
Temos 2 casos a considerar:
1 caso)cos²x-sen²x=0
2 caso)2cos²x+3senx=0
Vamos resolver o caso 1:
cos²x=sen²x
Porém, sabemos que
sen²x+cos²x=1
=>sen²x=1/2
=>senx=sen 45 (raiz(2)/2)
ou senx=-sen45=sen225
Se senx=sen45 temos 2
casos no intervalo [0,2Ï]
que são:
x=45 ou x=135
Se senx=sen225 temos 2 casos:
x=225 ou x =315
2caso)
2cos²x+3senx=0
=>
2(1-sen²x)+3senx=0
=>
2sen²x-3senx-2=0
delta=25
senx=(3+5)/4=2(não pode)
ou senx=(3-5)/4=-1/2
=>x=210 ou 330
Respostas:
x=45,135,225,315,210 ou 330
Ou melhor:
x=Ï/4, 3Ï/4, 5Ï/4, 7Ï/4, 7Ï/6 ou 11Ï/6
(cos^2)x= 1-(sen^2)x
-2(sen^2)x +3sen x + 2= 0
sen x = y
-2(y^2) +3y +2=0
y=2 ( não) ou y= -1/2 (correto)
senx=-1/2
x= 11pi/6 radianos
ou 1-2(sen^2)x= 0
senx= + - (1/2)^(1/2)
x= pi/4 ou 7pi/4
soluções:pi/4;7pi/4 ou 11pi/6.