Vetores - base, intersecção e soma?
Sejam W1+{(x,y,z,t) E R^4 | x+y = 0 e z-t = 0}
W2 = {(x,y,z,t) E R^4 | x-y-z+t =0}
1 - determine W1 intersecção com W2
2 - determine uma base para W1 intersecção com Q2
3 - determine W1 + W2
4 - W1 + W2 é soma direta ? Justifique.
5 - W1 + W2 = R^4?
Comments
1) W1 ∩ W2
x+y=0 (1)
z-t = 0 (2)
x-y-z+t (3)
Substituindo (2) em (3), temos
x-y-(z-t)=0
x-y=0 => x=y
Mas, se x=y e x=-y, x=y=0
Logo W1 ∩ W2 ={(x,y,z,t) E R^4 | x=y=0 e z-t = 0}
2) Dado v em W1 ∩ W2
v=(x,y,z,t) = (0,0,t,t), pois x=y=0 e z-t = 0=> z=t
Fazendo-se t=α, um parâmetro livre:
v=(0,0,α,α) = α(0,0,1,1)
Logo base para W1 ∩ W2 e {(0,0,1,1)}
3) Por [1], temos que W1+W2 é obtida através das bases dos subespaços W1 e W2
W1:w1=(x,y,z,t) = (x,-x,t,t) = x(1,-1,0,0) +t(0,0,1,1). Logo a base W1 é {(1,-1,0,0), (0,0,1,1)}
W2: x-y-z+t =0 => t=y+z-x
w2=(x,y,z,t) = (x,y,z,y+z-x) = x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,1)+z(0,0,1,1)
Base W2={ (1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}
Eliminando-se os vetores que são L.D., como (0,0,1,1), temos a seguinte base para W1+W2: { (1,-1,0,0),(1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}
4) Não. Vide referência [2] para maiores informações.
5) Sim. A dimensão da base W1 + W2 é quatro, que coincide com a dimensão de |R4.