Resolver as 3 Integrais por substituição?

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• legionaria

  May 2021

  Respostas:

  Questão 9) ∫ t^4 * (3 - 5t^5)^1/3 dt

  u = 3 - 5t^5

  du = - 25t^4 dt ==> dt = - du/25t^4

  ∫ t^4 * (u)^1/3 * (- du/25t^4) ===>> este t^4 não deve ser colocado no cálculo, pois afinal você agora está trabalhando apenas com a variável "u", coloquei aqui somente para demonstrar que ele será eliminado, pois há um "t^4" no numerador e no denominador....

  Prosseguindo:

  -1/25 * ∫ (u)^1/3 du ====> a constante -1/25 vai pra fora da integral

  => (-1/25)*(3/4)*(u)^4/3 _____>> agora basta substituir o "u" pelo "3-5t^5" que resultará:

  ===> (-3/100)*(3 - 5t^5)^4/3 (resposta final)

  Questão 10) ∫ x² * (x - 1)^1/2 dx

  u= x -1 ===> x = u + 1

  du = dx

  ∫ (u+1)² * (u)^1/2 du

  ∫ (u² + 2u + 1) * (u)^1/2 du ===> multiplica tudo pra deixar só uma expressão

  ∫ (u^5/2 + 2u^3/2 + u^1/2) du ====> integrando tudo, resulta:

  ===> (2/7)*u^7/2 + (2/5)*u^5/2 + (2/3)*u^3/2 + C ===> substitui-se o u

  ===> (2/7)*(x-1)^7/2 + (2/5)*(x-1)^5/2 + (2/3)*(x-1)^3/2 + C (Resposta final)

  Questão 12) ∫ [x²/ (2+x³)^1/2] dx

  u= 2+x³

  du= 3x² dx ===> dx = du/3x²

  ∫ [x²/ (u)^1/2] * [du/3x²] ====> aqui corta-se tbm o x², mas não deve ser colocado no cálculo!

  1/3 ∫ [1/(u^1/2)] du

  ==> 1/3 ∫ [u^(-1/2)] du ====> o "u^1/2" estava no denominador passa para o numerador alterando o sinal do expoente, agora é só integrar normalmente

  1/3 ∫ [u^(-1/2)] du

  => (1/3)* 2u^1/2 + C ===> fazendo a devida substituição, temos o resultado final:

  ==> (2/3)* (2+x³)^1/2 + C (Resposta final)

  Bons estudos!