1)Es usual indicar el intervalo de integración del menor número al mayor. En este caso sería [0,2Pi]
2) De lo contrario es la intregral entre 2Pi a 0 de Int[1/(5-3cosx]dx=
-Int[1/(5-3cosx]dx, pues la Integral de f(x) dx entre a y b es igual a
.la Intergral de f(x) dx entre b y a.
Propiedad que debes haber estudiado. Intenta otra vez y si crees que sigue sin salir o algo te falta . Envía otro pedido de ayuda.
¿Pero quén te dijo que la integral definida NO puede dar CERO? Sí puede ocurrir. Según sea la función . P. e. si la Intf(x)da representa el trabajo de una fuerza y hasta negativa! . Si te piden el área o bien el volumen evidentemente el valor que obtengas deberá ser positivo "siempre", ya que no existen áreas y volúmenes negativas o nulas.
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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §
⁽⁾⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
____________________
Hola! Armando. Trabaja un poco con el denominador:
5 - 3 cos(x) = [ángulo doble] = 5 - 3[cos²(x/2) - sen²(x/2)] =
= 5 - 3[2 cos²(x/2) - 1] = 8 - 6 cos²(x/2) = [factor común] =
= cos²(x/2) • [8/cos²(x/2) - 6] ❶
Y para terminar, recuerda que siempre se cumple:
1 + tan²(u) = 1/cos²(u)
Llevando esta identidad a ❶ seguirá:
5 - 3 cos(x) = cos²(x/2) • [8/cos²(x/2) - 6] =
= cos²(x/2) • [8 + 8 tan²(x/2) - 6] ⇒
5 - 3 cos(x) = 2 cos²(x/2) • [1 + 4 tan²(x/2)] ❷
____________________
Entonces:
∫ dx / [5 - 3 cos(x)] = [de ❷] =
= ½ ∫ dx / { cos²(x/2) • [1 + 4 tan²(x/2)] } ❸
____________________
Para resolver esta integral planteamos la siguiente sustitución:
s = 2 tan(x/2) → [de modo que]
ds = dx / cos²(x/2)
Sustituimos en ❸:
= ½ ∫ ds / (1 + s²) = ½ arctan(s)
Y volviendo a términos de "x":
∫ dx / [5 - 3 cos(x)] = ½ arctan[2 tan(x/2)] + C
____________________
Llamaremos:
I(x) = ½ arctan[2 tan(x/2)]
Se te pide evaluar: I(2π) - I(0). Entonces:
I(2π) = ½ arctan[2 tan(π)] = ½ π
I(0) = = ½ arctan[2 tan(0)] = 0
Luego el resultado buscado es: "½ π".
____________________
Espero te haya sido útil.
Saludos, Cacho.
...
Armando.
1)Es usual indicar el intervalo de integración del menor número al mayor. En este caso sería [0,2Pi]
2) De lo contrario es la intregral entre 2Pi a 0 de Int[1/(5-3cosx]dx=
-Int[1/(5-3cosx]dx, pues la Integral de f(x) dx entre a y b es igual a
.la Intergral de f(x) dx entre b y a.
Propiedad que debes haber estudiado. Intenta otra vez y si crees que sigue sin salir o algo te falta . Envía otro pedido de ayuda.
¿Pero quén te dijo que la integral definida NO puede dar CERO? Sí puede ocurrir. Según sea la función . P. e. si la Intf(x)da representa el trabajo de una fuerza y hasta negativa! . Si te piden el área o bien el volumen evidentemente el valor que obtengas deberá ser positivo "siempre", ya que no existen áreas y volúmenes negativas o nulas.
haz lo siguiente
hay veces que pasa eso
solo haya de 0 a pi/2 y luego lo multiplicas por 4
esta ves te saldra un resultado, te lo digo por experiencia
adios
Tenemos:
H = ∫dx / ( 5 - 3cos(x) ); definida entre 2pi y 0
Para este tipo de integrales, recurrimos a la combinación de soluciones entre ángulo doble y tangente:
sea tg(x/2) = z; entonces x/2 = arctg(z); y dx = 2dz / (1 + z²)
para el coseno:
cos(x) = cos²(x/2) - sen²(x/2) = (1 - z²) / (1 + z²)
Reemplazando estos valores en la integral:
H = ∫dx / ( 5 - 3cos(x) )
H = ∫I 2dz / (1 + z²) I / I 5 - 3(1 - z²) / (1 + z²) I
H = ∫I 2 dz/ (1 + z²) I / I 5(1 + z²) - 3(1 - z²) / (1 + z²)
H = ∫2 dz / (5 + 5z² - 3 + 3z²)
H = ∫2 dz / (2 + 8z²)
H = ∫dz / (1 + 4z²)
A ambos términos de la fracción se les multiplica por (1/4):
H = ∫(1/4) dz / I (1/4) + z² I
H = (1/4)∫dz / I (1/2)² + z² I
esta integral es directa:
H = (1/4)arctg(2z)
Retomando el valor original de x, la expresión queda:
H = (1/4)arctg( 2tg(x/2) )
cuando x = 2pi:
H = (1/4)arctg( 2tg(x/2) )
H(2pi) = (1/4)arctg( 2tg(2pi/2) )
H(2pi) = (1/4)arctg( 2tg(pi) )
H(2pi) = 0
cuando x = 0:
H = (1/4)arctg( 2tg(x/2) )
H(0) = (1/4)arctg( 2tg(0/2) )
H(0) = (1/4)arctg( 2tg(0) )
H(0) = 0
===================
Definiendo la integral entre 2 pi y 0, el resulatdo es 0
===================
éxitos!!!... la tangente de pi es 0, lo mismo que para 0, 2pi, y así sucesivamente