Prove que se "a" é um número natural par, então 2ª - 1 é um múltiplo de 3?
'a' eh um numero natural par,entao 2ª-1 eh um multiplo de 3.
Update:Po, brigadão, sabe resolver as outras ?
'a' eh um numero natural par,entao 2ª-1 eh um multiplo de 3.
Update:Po, brigadão, sabe resolver as outras ?
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Para a = 2, a propriedade é válida, pois 2²-1 = 4-1 = 3 = 3.1 ∴ 3 | 2²-1. Suponhamos
agora, que a propriedade seja válida para a = 2n ≥ 2, e provemos que ela também é
válida para a = 2(n+1) = 2n+2. De fato, temos:
2^(2n+2) - 1 = 2^(2n).2^2 - 1 = 4.2^(2n) - 1 = 3.2^(2n)+(2^(2n) - 1) = 3.2^(2n)+3k (hipó-
tese) = 3(2^(2n) + k) = 3k' ∴ 3 | 2^(2(n+1)) - 1
Então fica provado, pelo princípio da indução finita, que 3 | 2^a - 1, para todo a par.
Podemos provar também por congruências lineares. Como 2 + (-1) = 3, temos que
2 ≡ -1 (mod 3)
Pelas propriedades da congruências lineares, para todo inteiro positivo a, temos que
2^a ≡ (-1)^a (mod 3). Se a for par, então (-1)^a = 1 e temos que
2^a &equiv 1 (mod 3), o mesmo que dizer que 2^a - 1 é mútiplo de 3.
Outra prova:
Considere o plinômio P(x) = x^a - 1. Se a for par, P(-1) = 0 e P é dado por
P(x) = (x +1) Q(x), onde Q é um polinômio. Como P tem coeficientes inteiros e os do binômio x + 1, são 1 e -1, então, pelo algoritmo de Briot-Ruffini, Q tem coeficientes inteiros. Logo, para x inteiro, Q(x) é inteiro, o que implica que P(x) seja múltiplo de x + 1.
Por isso, para todo inteiro x e todo par positivo, x^a - 1 é múltipo de x + 1. E, por um racocínio similar, é também múltiplo de x - 1.
Por exemplo, 5^4 = 624 é múltiplo de 5 + 1 = 6 e de 5 - 1 = 4