Porque a função seno é ímpar e a cosseno é par?
Preciso provar que a função seno é ímpar e que a função cosseno é par. As definições de paridade eu já sei, o problema é que quando fui fazer não consegui entender o porquê que quando se obtém f(x)= senx; f(-x) = sen(-x) = - senx...... E para o cosseno a lei não vale, ficando f(x)= cosx; f(-x)= cos(-x) = (+)cosx.... Porque, se ambas as resoluções tendem para o mesmo resultado, um fica positivo e o outro, negativo?
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basta visualizar no gráfico (y= sen(x) ) ou Y= cosx
função par ( valores de x opostos dão mesmo valor de Y)
ex: Y= cosx (visualize no gráfico)
cosx ... 1/2 .... 1 ....... 1/2
x .... ... - pi/3 ....0 .... +pi/3 ...
cos(-pi/3) = co(pi/3) = 1/2
função ímpar ( valores de x opostos dão valores diferentes de Y)
senx =y
senx ...... -1 ...... 0 ....... +1
x........ ....-pi/2 .....0 .....+pi/2
sen(-pi/2) = -1 e sen(pi/2)= 1
ou sen(-pi/2) = -sen(pi/2)
Em
f(x)= senx seja k um arco do 1º quadrante
então
f(k)= sen k
f(-k)=sen(-k) , observe que-k , e do 4º quadrante logo]
f(-k)=sen(-k) = -sen k
então
f(k) ≠ f(-k)
e
f(x)= senx
é impar
Em
f(x)=cosx , seja w um arco do 1º quadrante
então
f(w)= cos(w)
f(-w)=cos(-w) , observe que -w é do 4º quadrante onde
logo
f(w)=f(-w) pois cosw=cos-w é par
Pq o seno é simétrico em relação à origem e o cosseno é simétrico em relação ao eixo das ordenadas(y).
Procure visualizar a variação da função no ciclo trigonométrico.