¿como se realiza este limite trigonometrico ?

lim x --> 1 (cos( pi/2)(x)) / (1 - √x ) sin l´hopital...con los pasos gracias ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 10 puntos ¡¡¡¡¡¡

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  • ∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ↔ ⇒ ∞ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ µ ß Ө € № % ‰ §

    ⁽⁾⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•

    ± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞

    Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

    α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω

    ↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇

    ∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

    ____________________

    Hola! Sam.

    Comienza multiplicando numerador y denominador por:

    1 + √x

    Quedará:

    cos(π x/2) / (1 - √x ) = (1 + √x) • cos(π x/2) / [(1 - √x ) • (1 + √x )] =

    = (1 + √x) • cos(π x/2) / (1 - x ) = ❶

    ___

    Puedes seguir haciendo la siguiente sustitución:

    u = 1 - x

    (advierte que "u" tiende a cero cuando "x" tiende a "uno")

    Entonces:

    ❶ = [1 + √(1 - u)] • cos[π (1 - u)/2] / u =

    = [1 + √(1 - u)] • cos[ (π/2) - (πu/2) ] / u = [vemos el coseno de una resta] =

    = [1 + √(1 - u)] • sen(π/2) • sen(πu/2) / u =

    = [1 + √(1 - u)] • sen(πu/2) / u = ❷

    ___

    Para que nos quede el "límite más famoso", multiplicamos y dividimos por "π/2". Quedará:

    ❷ = [1 + √(1 - u)] • (π/2) • sen(πu/2) / (πu/2) = [agrupamos convenientemente]

    = { [1 + √(1 - u)] • (π/2) } • { sen(πu/2) / (πu/2) }

    ___

    ¡Y ya llegamos!... Entonces:

    Ya dijimos que cuando "x→1" entonces "u→0". En tal caso, la expresión:

    sen(π u/2) / (π u/2)

    (que es el límite más famoso) tiende a "1".

    Y, por otra parte, la expresión:

    [1 + √(1 - u)] • (π/2)

    tiende a: [1 + 1] • (π/2) = π

    ___

    En resumen:

    cos(π x/2) / (1 - √x ) → π, cuando x → 1

    ___

    Espero te haya sikdo de utilidad.

    Saludos, Cacho R.

    ...

  • Hola

    Interesante...

    f(x) = (cos( pi/2)(x)) / (1 - √x )

    L = lim (f(x))

    x --> 1

    Usamos la variable "u" trasladada al origen

    x = 1 + u

    Cuando x --> 1 ; u --> 0

    u = x - 1

    calculamos f(u)

    cos( (pi/2) (x)) = cos( (pi/2) (1 + u)) = cos( (pi/2) + (pi/2) u ) = - sen( (pi/2) u)

    (1 - √x ) = (1 - √(1 + u) )

    Entonces

    f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) )

    L = f(u)

    u --> 0

    Primera parte

    Usamos la aproximación de sen(a)

    cuando el ángulo a (MEDIDO EN RADIANES)

    tiende a 0

    sen(a) ---> a

    para a --> 0 (en radianes)

    Entonces

    f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) ) --> (-1) (pi/2) [ (u) / (1 - √(1 + u) )]

    u -> 0

    =========================================

    Segunda parte.

    Tenemos la indeterminación 0/0 en la forma

    F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) )

    Esto se resuelve por medio de la diferencia de cuadrados,

    que se factoriza

    x^2 - y^2 = (x - y) (x + y)

    Para esto, debemos multiplicar y dividir por (1 + √(1 + u) )

    F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) ) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - √(1 + u) ) (1 + √(1 + u) )]

    En el denominador, aplicamos diferencia de cuadrados

    F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1^2 - (√(1 + u))^2 )]

    F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - ((1 + u)) )]

    F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(-u)]

    Ahora, considerando que u tiende a 0 y NUNCA toma el valor 0,

    podemos simplificar la fracción

    F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) )

    u-> 0

    Ya no hay indeterminación, podemos calcular

    F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) ) --> (-1) (1+1) = -2

    u-> 0

    =========================================

    El límite total nos queda

    L = (-1) (pi/2) (-2)

    L = pi

    **************

    Saludos

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