lim x --> 1 (cos( pi/2)(x)) / (1 - √x ) sin l´hopital...con los pasos gracias ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 10 puntos ¡¡¡¡¡¡
∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ↔ ⇒ ∞ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ µ ß Ө € № % ‰ §
⁽⁾⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
____________________
Hola! Sam.
Comienza multiplicando numerador y denominador por:
1 + √x
Quedará:
cos(π x/2) / (1 - √x ) = (1 + √x) • cos(π x/2) / [(1 - √x ) • (1 + √x )] =
= (1 + √x) • cos(π x/2) / (1 - x ) = ❶
___
Puedes seguir haciendo la siguiente sustitución:
u = 1 - x
(advierte que "u" tiende a cero cuando "x" tiende a "uno")
Entonces:
❶ = [1 + √(1 - u)] • cos[π (1 - u)/2] / u =
= [1 + √(1 - u)] • cos[ (π/2) - (πu/2) ] / u = [vemos el coseno de una resta] =
= [1 + √(1 - u)] • sen(π/2) • sen(πu/2) / u =
= [1 + √(1 - u)] • sen(πu/2) / u = ❷
Para que nos quede el "límite más famoso", multiplicamos y dividimos por "π/2". Quedará:
❷ = [1 + √(1 - u)] • (π/2) • sen(πu/2) / (πu/2) = [agrupamos convenientemente]
= { [1 + √(1 - u)] • (π/2) } • { sen(πu/2) / (πu/2) }
¡Y ya llegamos!... Entonces:
Ya dijimos que cuando "x→1" entonces "u→0". En tal caso, la expresión:
sen(π u/2) / (π u/2)
(que es el límite más famoso) tiende a "1".
Y, por otra parte, la expresión:
[1 + √(1 - u)] • (π/2)
tiende a: [1 + 1] • (π/2) = π
En resumen:
cos(π x/2) / (1 - √x ) → π, cuando x → 1
Espero te haya sikdo de utilidad.
Saludos, Cacho R.
...
Hola
Interesante...
f(x) = (cos( pi/2)(x)) / (1 - √x )
L = lim (f(x))
x --> 1
Usamos la variable "u" trasladada al origen
x = 1 + u
Cuando x --> 1 ; u --> 0
u = x - 1
calculamos f(u)
cos( (pi/2) (x)) = cos( (pi/2) (1 + u)) = cos( (pi/2) + (pi/2) u ) = - sen( (pi/2) u)
(1 - √x ) = (1 - √(1 + u) )
Entonces
f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) )
L = f(u)
u --> 0
Primera parte
Usamos la aproximación de sen(a)
cuando el ángulo a (MEDIDO EN RADIANES)
tiende a 0
sen(a) ---> a
para a --> 0 (en radianes)
f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) ) --> (-1) (pi/2) [ (u) / (1 - √(1 + u) )]
u -> 0
=========================================
Segunda parte.
Tenemos la indeterminación 0/0 en la forma
F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) )
Esto se resuelve por medio de la diferencia de cuadrados,
que se factoriza
x^2 - y^2 = (x - y) (x + y)
Para esto, debemos multiplicar y dividir por (1 + √(1 + u) )
F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) ) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - √(1 + u) ) (1 + √(1 + u) )]
En el denominador, aplicamos diferencia de cuadrados
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1^2 - (√(1 + u))^2 )]
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - ((1 + u)) )]
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(-u)]
Ahora, considerando que u tiende a 0 y NUNCA toma el valor 0,
podemos simplificar la fracción
F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) )
u-> 0
Ya no hay indeterminación, podemos calcular
F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) ) --> (-1) (1+1) = -2
El límite total nos queda
L = (-1) (pi/2) (-2)
L = pi
**************
Saludos
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∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Hola! Sam.
Comienza multiplicando numerador y denominador por:
1 + √x
Quedará:
cos(π x/2) / (1 - √x ) = (1 + √x) • cos(π x/2) / [(1 - √x ) • (1 + √x )] =
= (1 + √x) • cos(π x/2) / (1 - x ) = ❶
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Puedes seguir haciendo la siguiente sustitución:
u = 1 - x
(advierte que "u" tiende a cero cuando "x" tiende a "uno")
Entonces:
❶ = [1 + √(1 - u)] • cos[π (1 - u)/2] / u =
= [1 + √(1 - u)] • cos[ (π/2) - (πu/2) ] / u = [vemos el coseno de una resta] =
= [1 + √(1 - u)] • sen(π/2) • sen(πu/2) / u =
= [1 + √(1 - u)] • sen(πu/2) / u = ❷
___
Para que nos quede el "límite más famoso", multiplicamos y dividimos por "π/2". Quedará:
❷ = [1 + √(1 - u)] • (π/2) • sen(πu/2) / (πu/2) = [agrupamos convenientemente]
= { [1 + √(1 - u)] • (π/2) } • { sen(πu/2) / (πu/2) }
___
¡Y ya llegamos!... Entonces:
Ya dijimos que cuando "x→1" entonces "u→0". En tal caso, la expresión:
sen(π u/2) / (π u/2)
(que es el límite más famoso) tiende a "1".
Y, por otra parte, la expresión:
[1 + √(1 - u)] • (π/2)
tiende a: [1 + 1] • (π/2) = π
___
En resumen:
cos(π x/2) / (1 - √x ) → π, cuando x → 1
___
Espero te haya sikdo de utilidad.
Saludos, Cacho R.
...
Hola
Interesante...
f(x) = (cos( pi/2)(x)) / (1 - √x )
L = lim (f(x))
x --> 1
Usamos la variable "u" trasladada al origen
x = 1 + u
Cuando x --> 1 ; u --> 0
u = x - 1
calculamos f(u)
cos( (pi/2) (x)) = cos( (pi/2) (1 + u)) = cos( (pi/2) + (pi/2) u ) = - sen( (pi/2) u)
(1 - √x ) = (1 - √(1 + u) )
Entonces
f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) )
L = f(u)
u --> 0
Primera parte
Usamos la aproximación de sen(a)
cuando el ángulo a (MEDIDO EN RADIANES)
tiende a 0
sen(a) ---> a
para a --> 0 (en radianes)
Entonces
f(u) = (-1) sen( (pi/2) u) / (1 - √(1 + u) ) --> (-1) (pi/2) [ (u) / (1 - √(1 + u) )]
u -> 0
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Segunda parte.
Tenemos la indeterminación 0/0 en la forma
F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) )
Esto se resuelve por medio de la diferencia de cuadrados,
que se factoriza
x^2 - y^2 = (x - y) (x + y)
Para esto, debemos multiplicar y dividir por (1 + √(1 + u) )
F(u) = (u) / (1 - √(1 + u) ) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - √(1 + u) ) (1 + √(1 + u) )]
En el denominador, aplicamos diferencia de cuadrados
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1^2 - (√(1 + u))^2 )]
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(1 - ((1 + u)) )]
F(u) = [(u) (1 + √(1 + u) )] / [(-u)]
Ahora, considerando que u tiende a 0 y NUNCA toma el valor 0,
podemos simplificar la fracción
F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) )
u-> 0
Ya no hay indeterminación, podemos calcular
F(u) = (-1) (1 + √(1 + u) ) --> (-1) (1+1) = -2
u-> 0
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El límite total nos queda
L = (-1) (pi/2) (-2)
L = pi
**************
Saludos