Taxa de variação - Cálculo 1?
Gente, nao to entendendo taxa de variação... eis o problema:
Uma barra de 5m de comprimento tem suas extremidades deslizando sobre os suportes de um ângulo reto de origem 0. Uma das extremidades se afasta da origem à razão de 6cm/h. Determinar como varia a outra extremidade qunado a que está se afastando se encontra a 4m da origem.
Como deixar a velocidade da outra extremidade variando em função da distância da outra extremidade pra origem???
Derivar o quê???
Substituir quando os valores???
Me ajudem por favoooor!!!
10 pontos pra quem matar minhas dúvidas! vlw
Update:fnscarl2, muuuuuuito obrigado meeesmo, matou todas minhas dúvidas! os 10 pontos serão seu! obrigado mesmo!
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Em problemas de taxas relacionadas facilita muito se seguirmos essa estratégia:
1. Se possível, faça um diagrama
2. Introduza uma notação para as grandezas, mas somente as grandezas VARIÁVEIS
3. Expresse a informação dada e a taxa requerida em termos das derivadas
4. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use geometria da situação para eliminar uma das variáveis por substituição
5. Usando a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo (t)
6. Substitua a informação dada dentro da equação resultante e resolva-a para a taxa desconhecida
O principal desses problemas é interpretar corretamente, portanto leia com muita atenção o enunciado da questão.
Fazendo um diagrama :
....|.A............................
....|.\..........................
....|...\........................
....|.....\......................
....|.......\....................
....|.........\..................
....|.90°.....\................
...B............C............
Como a barra está apoiada da maneira mostrada acima, a tendência é ela escorregar, de forma que o lado BC aumente e o lado AB diminua ao passar do tempo, assim pelo exercício a razão de 6 cm/h deve ser atribuída ao lado que está realmente se afastanto, assim essa taxa é correspondente ao lado BC.
Expressando todas as informações e atribuindo uma notação às grandezas VARIÁVEIS em relação ao tempo :
AC = 5 m
AB = x
BC = y
dy/dt = 6 cm/h
dx/dt = ? , quando y = 4 m
Encontrando uma relação entre as variáveis, Pitágoras :
==================
(AC)² = (AB)² + (BC)²
==================
5² = x² + y²
x² + y² = 25
Derivando ambos lados em relação ao tempo(t) :
Dt [ x² + y² ] = Dt [ 25 ]
Dt [ x² ] + Dt [ y² ] = 0
Agora aplique a Regra da Potência ( Regra da Cadeia) :
De um modo geral:
Seja y = f(x)
Se quisermos derivar [ f(x) ]^n , onde n ∈ aos R
==============================
Dx [ f(x)^n ] = [ n * f(x)^(n - 1) ] * [ f '(x) ]
==============================
Voltando à derivação:
Dt [ x² ] + Dt [ y² ] = 0
2x*(x ') + 2y*(y ') = 0
2x*(dx/dt) + 2y*(dy/dt) = 0
O exercício nos pede dx/dt, mas está faltando saber o valor de x, acharemos por Pitágoras:
x² + y² = 5²
x² + 4² = 25
x² = 25 - 16 = 9
x = 3
Substituindo todos os dados, temos que :
2x*(dx/dt) + 2y*(dy/dt) = 0
2 * 3 * dx/dt + 2 * 4 * 6 = 0
6 * dx/dt + 48 = 0
dx/dt = - 48/6 = - 8 cm/h , isso mostra que o lado AB diminui ao passar do tempo
Resposta :
============
dx/dt = - 8 cm/h
============
OBS . : Preste muita atenção nos sinais das taxas de variação, quando há uma taxa que mede uma grandeza que decresce ao passar do tempo, devemos atribuir sinal negativo a essa taxa. Deixe para substituir as grandezas varáveis por números somente depois de fazer a derivação, senão você derivará um número (constante) que é zero, assim não resolverá o problema.