Empezamos elevando al cuadrado el binomio (tgA+secA)². Vamos a trabajar con el lado izquierdo de la igualdad para llegar a lo que está del lado derecho y demostrar la igualdad.
tg²A + 2tgAsecA + sec²A Recuerda que un binomio al cuadrado es: cuadrado del primero (cuadrado tgA = tg²A), más el primero por el segundo por 2 = (tgA) (secA) (2) = 2tgAsecA, más el cuadrado del segundo (cuadrado de secA = sec²A)
Ahora sà vamos a sustituir la identidades de tgA y secA:
tg²A + 2tgAsecA + sec²A = (senA/cosA)² + 2 (senA/cosA) (1/cosA) + (1/cosA)² Ahora voy a realizar las operaciones (elevar al cuadrado y multiplicar)
Puedes darte cuenta que (sen²A + 2senA + 1) es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que lo puedo poner como:
(senA + 1)² Por lo que me queda:
(senA + 1)² / cos²A
Ahora sólo cambio el cos²A por 1 - sen²A, es decir:
(senA + 1)² / (1 - sen²A) Ahora abajo voy a sacar el signo de menos para que me quede asà - (sen²A - 1)
(senA + 1)² / - (sen²A - 1) Como verás, lo de arriba lo puedo poner como (senA + 1) (senA + 1), porque es como si estuviera al cuadrado. Y lo de abajo es una diferencia de cuadrados, que se descompone en binomios conjugados, es decir: - (sen²A - 1) = - (senA + 1) (senA - 1)
Por lo que me queda finalmente:
(senA + 1) (senA + 1) / - (senA + 1) (senA - 1) Observarás, que se me elimina un (senA + 1) de arriba con uno de abajo, por lo que me queda:
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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §
⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Hola! Tamara.
Recuerda que "sec A = 1 / cos A" y que "tan A = sen A / cos A". Entonces:
(tan A + sec A)² = [(sen A / cos A) + 1/cos A]² =
= [(1 + sen A) / cos A]² = (1 + sen A)² / cos² A ❶
Y como es:
cos² A = 1² - sen² A = [diferencia de cuadrados] =
= (1 - sen A)•(1 + sen A)
Llevamos este resultado a ❶:
(tan A + sec A)² = (1 + sen A)² / [(1 - sen A)•(1 + sen A)]
Y simplificando:
(tan A + sec A)² = (1 + sen A) / (1 - sen A)
____________________
Para la segunda identidad resulta conveniente recordar el seno y el coseno de una suma de ángulos. Es decir:
sen(x+y) = sen x cos y + sen y cos x ❷
cos(x+y) = cos x cos y - sen x sen y ❸
Entonces:
sen(4A) = sen(2A + 2A) = [de ❷] = 2 sen 2A cos 2A ❹
____________________
sen(3A) = sen(A + 2A) = [de ❷] =
= sen A cos 2A + sen 2A cos A ❺
____________________
sen(2A) = sen(A+ A) = [de ❷] = 2 sen A cos A ❻
____________________
cos(2A) = cos(A+A) = [de ❸] = cos² A - sen² A ❼
____________________
Comencemos:
sen(4A) * cos A - sen 3A * cos 2A= [de ❹] =
=2sen 2A cos(2A)*cos A - sen 3A * cos 2A= [factor comun] =
= [2 sen(2A) * cos(A) - sen(3A)] cos 2A = [de ❺] =
= [2sen(2A) * cos(A) - sen(A) cos 2A - sen 2A cos A] cos2A =
= [sen(2A) * cos(A) - sen(A) cos 2A] cos2A = [de ❻] =
= [2 sen(A) * cos²(A) - sen(A) cos 2A] cos2A = [f. común] =
= [2 cos²(A) - cos(2A)] sen(A) cos2A = [de ❼] =
= [2 cos²(A) - cos²(A) + sen²(A)] sen(A) cos2A =
= [cos²(A) + sen²(A)] sen(A) cos2A =
= [ 1 ] sen(A) cos2A =
= sen(A) cos2A
____________________
Espero te haya sido útil.
Saludos, Cacho.
...
Hola, bien, vamos a comenzar por la número 1, las identidades trigonométricas a utilizar son las siguientes:
tgA = senA / cosA
secA = 1 / cosA
cos²A = 1 - sen²A
Empezamos elevando al cuadrado el binomio (tgA+secA)². Vamos a trabajar con el lado izquierdo de la igualdad para llegar a lo que está del lado derecho y demostrar la igualdad.
tg²A + 2tgAsecA + sec²A Recuerda que un binomio al cuadrado es: cuadrado del primero (cuadrado tgA = tg²A), más el primero por el segundo por 2 = (tgA) (secA) (2) = 2tgAsecA, más el cuadrado del segundo (cuadrado de secA = sec²A)
Ahora sà vamos a sustituir la identidades de tgA y secA:
tg²A + 2tgAsecA + sec²A = (senA/cosA)² + 2 (senA/cosA) (1/cosA) + (1/cosA)² Ahora voy a realizar las operaciones (elevar al cuadrado y multiplicar)
(sen²A / cos²A) + (2senA / cos²A) + (1/cos²A) Si te fijas tengo un denominador común que es cos²A, por lo que puedo escribir mi ecuación asà también:
(sen²A + 2senA + 1) / cos²A
Puedes darte cuenta que (sen²A + 2senA + 1) es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que lo puedo poner como:
(senA + 1)² Por lo que me queda:
(senA + 1)² / cos²A
Ahora sólo cambio el cos²A por 1 - sen²A, es decir:
(senA + 1)² / (1 - sen²A) Ahora abajo voy a sacar el signo de menos para que me quede asà - (sen²A - 1)
(senA + 1)² / - (sen²A - 1) Como verás, lo de arriba lo puedo poner como (senA + 1) (senA + 1), porque es como si estuviera al cuadrado. Y lo de abajo es una diferencia de cuadrados, que se descompone en binomios conjugados, es decir: - (sen²A - 1) = - (senA + 1) (senA - 1)
Por lo que me queda finalmente:
(senA + 1) (senA + 1) / - (senA + 1) (senA - 1) Observarás, que se me elimina un (senA + 1) de arriba con uno de abajo, por lo que me queda:
(senA + 1) / - (senA - 1) Ahora si multiplico el menos de abajo por el paréntesis, me quedarÃa:
(senA + 1) / (1 - senA) o lo que es lo mismo
(1 + senA) / (1 - senA) que es a lo que querÃamos llegar.
(tgA+secA)² = 1 + senA / 1 - senA
Ahora la número 2. Las identidades a utilizar son:
senAcosB = [sen(A+B) + sen(A-B)] / 2
[ sen(C) - sen(D) ] / 2 = sen[(C-D)/2] cos [(C+D)/2]
Bien, empezamos de nuevo con el lado izquierdo:
sen(4A) * cos(A) - sen(3A) * cos(2A) Aplicamos las identidades
sen(4A) * cos(A) = [ sen(4A + A) + sen(4A - A) ] / 2 = sen(5A) / 2 + sen(3A) / 2 Dividà cada término entre 2 para quitar el paréntesis []
sen(3A) * cos(2A) = [ sen(3A + 2A) + sen(3A - 2A) ] / 2 = sen(5A) / 2 + sen(A) / 2
Y ahora los sustituimos
sen(4A) * cos(A) - sen(3A) * cos(2A) = sen(5A) / 2 + sen(3A) / 2 - [sen(5A) / 2 + sen(A) / 2] lo último lo puse entre corchetes porque todo está multiplicado por el signo menos. Ahora voy a multiplicar ese signo menos por todo lo de adentro del paréntesis
sen(5A) / 2 + sen(3A) / 2 - [sen(5A) / 2 + sen(A) / 2] = sen(5A) / 2 + sen(3A) / 2 - sen(5A) / 2 - sen(A) / 2 Sumamos términos semejantes. Puedes notar que sen(5A) / 2 se elimina con el - sen(5A) / 2, por lo que nos queda:
sen(3A) / 2 - sen(A) / 2, lo cual también lo puedo escirbi asÃ:
[ sen(3A) - sen(A) ] / 2 Ya que el 2 es denominador común. Ahora aplicamos nuevamente identidades:
[ sen(C) - sen(D) ] / 2 = sen[(C-D)/2] cos [(C+D)/2]
Como verás C = 3A y D = A, por lo que sustituimos:
[ sen(3A) - sen(A) ] / 2 = sen[(3A - A)/2] cos [(3A + A)/2] Ahora sumamos los ángulos y los dividimos entre 2
sen(2A / 2) cos(4A / 2) = sen(A) cos(2A). Y llegamos al resultado deseado.
sen(4A) * cos(A) - sen(3A) * cos(2A) = sen(A) * cos(2A)
Espero me haya explicado correctamente y te haya sido útil mi ayuda
Saludos
hazlo tu