calcular um montante em juros composto.?
Eu quero investir R$1000,00 todo mês durante 120 meses num investimento que rende 2,5% ao mês. Quanto eu terei no final dos 120 meses? Observe que todo mês depositarei + R$1000,00 até acabar os
os 120 meses.
Eu quero investir R$1000,00 todo mês durante 120 meses num investimento que rende 2,5% ao mês. Quanto eu terei no final dos 120 meses? Observe que todo mês depositarei + R$1000,00 até acabar os
os 120 meses.
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Juros composto ou exponencial:
Para calcular o montante basta usar uma formula extraída da formula da soma dos n termos de uma PG (progressão geométrica), pois o montante em juros composto é uma PG, onde a razão é o índice mais 1( 1 + i).
O montante é igual ao capital aplicado mais os juros.
m = c + j
os juros é igual ao capital inicial vezes a porcentagem ou índice:
j = c * i
índice é a representação da porcentagem em número decimal.
Tenho m para montante, j para juro, c para capital e i para índice.
Também posso escrever o montante da seguinte forma.
m = c + ( c * i)
m = c ( 1 + i )
Exemplo:
Vou aplicar um juro composto de 5% ao mês, quanto será esse juro em 3 meses.
Meu capital inicial é c, então tenho:
no primeiro mês tenho o montante m;
m = c * (1 + 0,05);
no segundo mês tenho;
m = (c * 1 + 0,05) * (1 + 0,05);
no terceiro mês tenho; m = (c * 1 + 0,05) * (1 + 0,05) * (1 + 0,05)
Mas desta forma dá muito trabalho então eu posso, criar uma formula daí.
vamos pegar o montante do segundo mês:
m = (c * 1 + 0,05) *(1 + 0,05);
isto também é igual a m = c * 1,05².
veja que no terceiro mês fica assim;
m = c * 1,05³
Agora basta criar a formula geral
m = c (1 + i)^n
onde n, é o número de períodos.
O execício acima pede para calcular o montante de um investimento R$ 1.000, 00 todo mês durante 120 meses com juros de 2,5% ao mês.
no primeiro mês eu terei os R$ 1.000,00 mais o juro no mês mais R$ 1.000,00 que é do mês seguinte.
Para facilitar digamos que foi feito o deposito de R$ 1.000,00 no mês passado, sendo que hoje complete um mês, então tenho os 1.000,00 mais os juros, porém faço hoje o segundo deposito de 1.000,00, então tenho 1.000,00 mais os juros mais os 1.000,00 depositado hoje. Será assim por diante.
Observação o mês de hoje no caso é o segundo mês, completa-se um mês no mês seguinte.
Vamos calcular o montante dos 5 primeiros meses.
No primeiro mês:
1.000
No segundo mês:
1.000 + 1.000 ( 1 + 0,025) ou 1.000 + 1.000 * 1,025.
= 2.025
No terceiro mês:
1.000 + 2.025 (1,025)
=1.000 * 1,025 (1,025) + 1.000 (1,025) + 1.000
=1.000 * 1,025² + 1.000 (1,025) + 1.000
= 3.075,625
No quarto mês;
1.000 + 3.075,625 (1,025)
= 1.000 (1,025²) (1,025) + 1.000(1,025) (1,025) +
+ 1.000 (1,025) + 1.000
=1.000 (1,025³) + 1.000(1,025²) + 1.000 (1,025) + 1.000
= 4.152,515625
No quinto mês;
1000 + 4.152,515625 (1,025)
1.000(1,025^4) + 1.000(1,025³) + 1.000(1,025²) +
1.000(1,025) + 1.000
= 5.256,328515625
Repare que temos a soma dos 5 primeiros termos de uma P.G, onde a razão é igual a 1,025 quando passamos para ordem crescente.
Então podemos usar a formula para a soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sn = a1 ( q^n - 1) / q - 1
Sn, soma dos n primeiros termos de uma P.G
a1, primeiro termo
q, razão
n, números de termos.
No calculo do montante de juros composto, temos:
Sn, montante, m
a1, capital inicial, c
q, 1 + i, onde i é o índice
n, números de períodos.
m = c [ (1 + i)^n - 1 ] / 1 + i - 1
m = c [ (1 + i)^n - 1] / i
com essa formula podemos resolver o exercício:
O capital inicial,c, é igual a R$ 1.000,00
n = números de meses, ou seja, 120
i a taxa de 0,025 ou 2,5% ao mês
Agora é só resolver:
m = 1.000 [ (1 + 0,025)^120 - 1]/ 0,025
m =1.000 [ 19,36 - 1] / 0,025
m = 1.000 [ 18,36] / 0,025
m = 18.358,15 / 0,025
m = 734.325,99 aproximadamente R$ 734.326,00
Observação só é possível resolver esse exercício usado uma tabela de juros ou de logaritmo, calculadora científica ou financeira, ou pelo Office.
Fórmula:
M = C ( 1+i )elevado a t.
Então:
M = 1000 (1+0,025)120
M = 1000 (1,025)120
M = 1000 x 19,35
M = 19358,14
2,5% = 2,5/100 = 0,025 a.m.
M = C.(1+i)^n
Cada depósito irá gerar o seu montante, assim:
1º) 1000 x (1,025)^120
2º) 1000 x (1,025)^119
3º) 1000 x (1,025)^118
................................
................................
119º) 1000 x (1,025)^2
120º) 1000 x (1,025)^1
Esses montantes, somados, irão gerar o seguinte montante:
M = 1000.(1,025^120 + 1,025^119 + 1,025^118 + ... + 1,025^2 + 1025^1)
As potências dentro do parênteses formam uma PG (progressão geométrica) cuja razão (q) é igual a 1,025 e o número de termos (n) é igual a 120.
A fórmula da soma dos termos de uma PG é:
S = a1.(q^n – 1)/(q – 1)
Vamos considerar, para maior facilidade nos cálculos, que a PG começa do fim para o começo, isto é, do expoente 1 para o expoente 120:
S = 1.(1,025^120 – 1)/(1,025 –1) = 1,025^120 – 1/ 0,025 = 18,35815 / 0,025 = 734,326
donde.
M = 1000 x 734,326 = R$ 734.326,00