Problema de física velocidad promedio?
Usted viaja en la carretera interestatal 10 de San Antonio a Houston, la mitad del tiempo a 35 mi/h (56.3 km./h) y la otra mitad a 55 mi/h (=88.5 km./h). En el viaje de regreso usted viaja la mitad de la distancia a 35 mi/h y la otra mitad a 55 mi/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de Houston a San Antonio?
Por fas, necesito ayuda, según esto la respuesta es 42.8 mi/h, pero ¿cómo se llega a eso?
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La distancia que hay entre San Antonio y Houston no te la dan, de modo que la denotaremos con d. Por definición, la velocidad media, ṽ, es igual a la distancia recorrida dividida entre el tiempo que toma realizar el recorrido; es decir, ṽ = d / t.
De acuerdo con el enunciado, en el viaje de regreso la mitad del trayecto se recorre a 35 mi/h, y la mitad restante a 55 mi/h. Evidentemente, el recorrido se hace en dos etapas, la primera de las cuales toma un tiempo
t1 = ½ d / 35 = (d / 70) h.
Análogamente, la segunda etapa se completa en
t2 = ½ d / 55 = (d / 110) h.
Ahora, como t = t1 + t2, se tiene que
t = d / 70 + d / 110 = d (1 / 70 + 1 / 110),
y, puesto que ṽ = d / t, entonces
ṽ = d / d (1 / 70 + 1 / 110) = 1 / (1 / 70 + 1 / 110).
Multiplicando numerador y denominador por 70 × 110, se obtiene
ṽ = 70 × 110 / (70 × 110)(1 / 70 + 1 / 110) = (70 × 110) / (110 + 70) = 7 700 / 180 = 42.78 mi/h.
En general, si un recorrido de cualquier distancia se efectúa de modo que la mitad de la distancia se recorre a una velocidad v1, y la mitad restante a velocidad v2, la velocidad media será igual a la media armónica de las velocidades. La media armónica de dos números a y b se calcula mediante la fórmula h = 2 a b / (a + b). En este caso, la media armónica de 35 y 55 es 2 × 35 × 55 / (35 + 55) = 42.78; esta media armónica es igual a la velocidad media del trayecto, como quedó dicho.
Advierte que no es necesario conocer la distancia recorrida; solo las velocidades. Por supuesto, si la distancia recorrida en cada etapa no es exactamente la mitad del recorrido, la fórmula deja de ser válida. Al respecto, nota también que la velocidad media en el viaje de ida (San Antonio a Houston) es justamente la media aritmética de las velocidades: ṽ = ½ (35 + 55) = ½ · 90 = 45 mi/h. La razón de esto es que la mitad del tiempo (no la mitad de la distancia, como en el caso anterior) el vehículo se desplazó a una velocidad, y la otra mitad a otra velocidad diferente.