problema de funcions continuas?
f(x,y)=
2yx^2
-------------- si (x,y) no es distinto a 0
(x^2)+(y^2)
0 si (x,y) es igual a 0
mi pregunta es... se demuestra que una función es continua hallando su límite (luego pasando a polares...) y si nos da 0 es continua???
es que mi profesor en los ejercicios ha averiguado también el límite respecto de x y de y
o sea:
f(h,0)-f(0,0)
-------------- cuanod h tiende a 0
h
y f(0,k)-f(0,0)
--------------- cuando k tiende a 0
se supone que con esto demuestras que es diferenciable, y si es diferenciable también es continua... con lo cual, estaríamos demostrando dos veces la continuidad??
en resumen... con el 1º paso sería suficiente ¿¿no??
y ¿para qué serviría sacar los límites de las derivadas parciales?
k
Comments
Tenes razon en que para ver que es continua solo es necesario probar que el limite de f en el origen es cero (en este caso), pero a veces es mas facil probar que es diferenciable , y una condicion necesaria es que existan las derivadas parciales.
Te digo mas , usando polares no vas a llegar a nada (pues vas a depender del coseno del angulo y de ro , y debes acercarte por cualquier curva)es mas conveniente utilizar cero x acotado.
Saludos , hace las cuentas.
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Aclaracion : me confundi , si sale con polares , es como el cero por acotado.
2yx^2
--------------
(x^2)+(y^2)
el problema está en el (0,0)
si pasas a polares
(2rsinar²cos²a)/r^2=2rsinacos²a
tiende a cero luego es continua
que exista d/dx y d/dy no significa que sea diferenciable hay que acabarlo y lo primero que se hace es demostrar que es continua porque no somos adivinos y es más fácil si hubiera salido que no ,ya estarÃa.
Además si derivas parcialmente no tiene sentido en (0,0) luego hay que hacer los lÃmites definición de derivada parcial:
f(h,0)-f(0,0)
-------------- cuadno h tiende a 0
h
f(0,k)-f(0,0)
--------------- cuando k tiende a 0
k
f(h,0)-f(0,0)
-------------- =0
h
f(0,k)-f(0,0)
--------------- =0
k
para que sea diferenciable en cero cero
limx.,y....>0de[(f(x,y)-f(0,0)+
xdf/dx+yd/dy)/raiz(x²+y²)]=0
2yx^2
--------------
(x^2+y^2)^3/2
polares
2rsinar²cos²a/r^3/2=
=2r^3/2(2sinacos²a)
si r tiende a cero es cero
luego la diferencial en (0,0) es
(df/dx,df/dy)(0,0)=(0,0)
Yo creo que te ha demostrado que es continua y diferenciable en todas partes y calcula la diferencial en (0,0).
Para verificar que una función no es continua en un punto basta encontrar una sucesión (o una dirección) que converja a dicho punto de tal forma que las imágenes bajo la función de dicha función:
a) no converja, o
b) converja pero su lÃmite es diferente al valor que toma la función en dicho punto.
Por ejemplo:
f(x,y)= (xy)/(x²+y²) si (x,y)â (0,0) y f(0,0)=0.
Esta función no es continua en cero pues si tomamos la sucesión (xn,yn)=(n,n) se tiene que f(n,n)=1/2 sucesión constante que converge a 1/2 y es diferente a f(0,0). Dicho en otras palabras, si nos hacercamos a (0,0) por la dirección (o por la curva) y=x se tiene f(x,x)=1/2, (ojo: aqui xâ 0) y al hacer tender x a cero se tiene que f(x,x) converge a 1/2 el cual difiere del valor 0=f(0,0).
Para verificar que una función es continua en un punto no hay de otra que usar la definición que te hallan dado (en términos de epsilon delta o en términos de sucesiones).
En casi en cualquier caso (razonable), suele funcionar la siguiente idea:
Estimación: acotar superiormente (este paso sólo es álgebra) el valor absoluto de
f(x,y)-f(a,b) con algo de la forma
A|x-a|+B|y-b| si |x-a|<e y |y-b|<e
para algunas constantes no negativas positivas A,B; y e positiva.
Con esta estimación se ve muy facil que si x tiende a "a" y y tende a "b" entonces f(x,y) tiende a f(a,b).
En tu problema particular se tiene la siguiente estimación:
Aquà (a,b)=(0,0) y tu función f(x,y) es continua en este punto, pues satisface
|f(x,y)-f(0,0)|=2|y|/(x^2+y^2)â¤2|y|(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=2|y|
Observa que aquà A=0, B=2 y e puede ser cualquier número positivo (no tuvimos la necesidad de establecer esta desigualdad con la hipótesis que imvolucra a "e").
Con relación a continuidad y difereciabilidad se tiene lo siguiente:
A) Diferenciabilidad implica continuidad.
Nota1: el que existan las derivadas parciales no implica diferenciabilidad, es por esto que se requiere usar continuidad el punto (B) para probar diferenciabilidad.
Nota2: Si se quiere probar continuidad y es mas facil probar diferenciabilidad, entonces véase si es derivable y use (A).
Espero que esto conteste a tu pregunta.
Saludos.
Para que una función sea contÃnua en un punto debe cumplir tres condiciones:
1)Estar definida en el punto.
2)Tener lÃmite en ese punto.
3)El valor de la función y del lÃmite en ese punto tienen que ser iguales.
En el caso de tu función, no está definida en (0;0) por lo que no serÃa contÃnua en ese punto. (Indefinición para el lÃmite doble: 0/0).
Si queremos analizar, como debe haber hecho tu profesor, qué pasarÃa si fuera (0;k) y (k;0) para k distinto de 0, allà sà que es contÃnua (está definida, vale 0, igual que su lÃmite), pero no en (0;0).
Puede también que haya aplicado los lÃmites iterados:
1)Para x tendiente a 0; y tendiente a 0= 0/0 (Porque queda 0/y con y tendiente a 0)
2)Para y tendiente a 0; x tendiente a 0= 0 (Porque queda 0/1 al simplificar las x^2)
Si los lÃmites iterados no son iguales, el lÃmite doble no existe en ese punto.