Problema di trigonometria??
Dato il semicerchio di diametro AB = 2r si conduca una corda AM e sia AN la bisetteice dell angooo BAM determina la posizione della suddetta corda AM in modo che il perimetro del quadrilatero convesso ABNM sia uguale a 5r. Porre BAM=2x
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Posto BA^M = 2x
con
0° < 2x < 90°
deve essere
0° < x < 45°
AM = 2r*cos(2x)
MN = NB = 2r*sin(x)
AB + AM + MN + NB = 5r
2 + 2cos(2x) + 4sin(x) = 5
Per le formule di duplicazione del coseno:
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
2 + 2[1 - 2sin²(x)] + 4sin(x) = 5
4sin²(x) - 4sin(x) + 5 - 4 = 0
4sin²(x) - 4sin(x) - 1 = 0
[2sin(x) - 1]² = 0
sin(x) = 1/2
x = 30°
Il perimetro del quadrilatero convesso ABNM è 5r quando x = 30°, ovvero quando AM = MN = NB = r