preciso de ajuda para resolver as seguinte questão de derivada?

eduardoeduardo
in Science & Mathematics

Provar que a Derivada da cotgx= -cosec2x(cosec ao quadrado)

Comments

  • maria-descartesmaria-descartes

    Veja:

    cotgx=cosx/senx

    (cotgx)'=[cosx'senx-cosxsenx']/sen²x

    (cotgx)'=[-senxsenx-cosxcosx]/sen²x

    (cotgx)'=[-sen²x-cos²x]/sen²x

    (cotgx)'=-[sen²x+cos²x]/sen²x

    (cotgx)'=-[1]/sen²x

    (cotgx)'=-cossec²x

  • theengineertheengineer

    Faça por essa definição de derivada, utilizando as fórmulas de arco soma:

    f '(x) = lim h->0 { [ f(x + h) - f(x) ] / h }

    (f '(x) é igual ao limite de [ f(x+h) - f(x) ] / h, quando h tende a zero).

    ,onde f(x) = cotg x

    f '(x) = lim h->0 { [ cotg(x+h) - cotg(x) ] / h }

    f '(x) = lim h->0 { [cos(x+h)/sen(x+h)] - [cos(x)/sen(x)] / h }

    OU fazer por derivação implícita da cotgx como se fosse um quociente entre cosx e senx:

    tgx = senx/cosx

    1/tgx = cosx/senx

    Por definição 1/tgx = cotgx

    cotgx = cosx/senx

    Derivando implicitamente em relação à x:

    Dx [cotgx] = Dx [cosx/senx]

    Dx [cotgx] = { Dx[cosx] * senx - Dx[senx] * cosx } / sen²x

    Dx [cotgx] = { - sen²x - cos²x } / sen²x

    Dx [cotgx] = { (-1)(sen²x + cos²x ) } / sen²x

    Sabemos que sen²x + cos²x = 1, substituindo:

    Dx [cotgx] = { (-1)(1) } / sen²x

    Dx [cotgx] = - 1 / sen²x

    Por definição 1/senx = cossecx, então

    Dx [cotgx] = - cossec²x

    C.Q.D.

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